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课件网) 8.2 函数与数学模型 8.2.2 函数的实际应用 探究点一 一次函数、二次函数模型 探究点二 指数函数模型 探究点三 对数函数模型 探究点四 函数模型的选择 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语 言和工具. 2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模 型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数 的现实意义. 知识点一 一次函数、二次函数模型 1.一次函数模型:解析式 _____. 2.二次函数模型: （1）一般式: _____； （2）顶点式: _ _____； （3）两根式: _____. 知识点二 指数函数模型 解析式:,条件:,,为常数,,, . 知识点三 对数函数模型 解析式:,条件:,,为常数,,, . 知识点四 应用函数知识解决实际问题的基本步骤 （1）审题———弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,明确要求解 的问题; （2）建模———将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语 言,利用数学知识建立相应的数学模型; （3）求模———求解数学模型,得出数学结论; （4）还原———将数学结论还原为实际问题的答案. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表 述．( ) √ （2）在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模 型．( ) √ （3）当在不同的范围内，变量的对应关系不同时，可以选择分段函 数模型．( ) √ （4）函数 属于幂函数模型．( ) × 探究点一 一次函数、二次函数模型 例1 ［2025·江苏宿迁中学高一期中］某地因地制宜发展生态农业， 打造特色水果示范区，该地区某果树的单株年产量 （单位：千 克）与单株施肥量 （单位：千克）之间的函数关系为 且单株投入的年平均成本为 元，若 这种水果的销售价格为10元/千克，且水果销路畅通.记该果树的单株 年利润为 （单位：元）. （1）求函数 的解析式. 解：由题意可得，当 时， ， 当时， ， 所以 例1 ［2025·江苏宿迁中学高一期中］某地因地制宜发展生态农业， 打造特色水果示范区，该地区某果树的单株年产量 （单位：千 克）与单株施肥量 （单位：千克）之间的函数关系为 且单株投入的年平均成本为 元，若 这种水果的销售价格为10元/千克，且水果销路畅通.记该果树的单株 年利润为 （单位：元）. （2）求单株施肥量为多少千克时，该果树的单株年利润最大？最大 单株年利润是多少？ 解：当时， ， 因为 , 所以由二次函数的性质可知，当时在 上取得最大值， 最大值为. 当 时， ， 当且仅当，即 时取等号， 所以在 上的最大值为350. 显然 ，所以单株施肥量为3千克时，该果树的单株年利润 最大，最大单株年利润为420元. 变式 某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套 生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前 为正整数年维修、保养费用总和为万元，设使用 年时 该设备的盈利总额为 万元. （1）写出与 之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始 盈利（盈利额为正值）. 解：由题意得 ， ， 令，则 ， 又，所以 ， 故从第3年开始，该设备开始盈利. 变式 某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套 生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前 为正整数年维修、保养费用总和为万元，设使用 年时 该设备的盈利总额为 万元. （2）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种： 方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元的价格处理该设备； 方案二：当盈利总额达到最大值 ... ...
