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课件网) 7.2 三角函数概念 7.2.2 同角三角函数关系 探究点一 求值问题 探究点二 与 的关系的应用 探究点三 由正切求齐次式的值 探究点四 三角函数式的化简与证明 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 理解同角三角函数的基本关系式： , . 知识点一 同角三角函数的基本关系 1.平方关系:_____. 2.商数关系:_____. 这就是说,同一个角 的正弦、余弦的_____等于1,商等于角 的 _____. 平方和 正切 知识点二 同角三角函数基本关系式的常用变形 1._____ _____. 2._____，_____, _____， _____ . 3._____ ,_____ . 4.切化弦:_ _____;弦化切:_____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对任意角 ， 都成立.( ) × [解析] 当 时， 不成立. （2）若,则 .( ) [解析] 由得 ,又 ，所以 . √ 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）已知,则 .( ) √ [解析] ,且 ,, , , 又 , . 探究点一 求值问题 例1（1）已知,,求 ， 的值. 解：方法一：由已知得由①得 , 代入②得,所以 , 又,所以,所以 ， 所以 . 方法二：因为，所以由 得 ，所以 , 又,所以 , 所以，所以 . （2）已知，求 ， 的值. 解：因为，，所以 是第三或第四象限角.由 得 . 如果 是第三象限角，那么，于是 ， 从而 ； 如果 是第四象限角，那么，于是 ，从而 . 综上所述，当 是第三象限角时，， ； 当 是第四象限角时，， . 变式（1）已知， 为第二象限角，求 ， 的值. 解：因为，且 ，所以， 又 为第二象限角，所以 ， 所以， . （2）已知 是第三象限角，且，求 ， 的值. 解：因为 是第三象限角，所以， ， 由题得则， . ［素养小结］ 求三角函数值的方法 （1）已知
或
求
常用以下方法求解. （2）已知 求 或 常用以下方法求解. 当角 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而 对角 分区间（象限）讨论. 探究点二 与 的关系的应用 例2 已知，求 和 的值. 解：因为，所以 ， 即，所以. 易知 为第二象限角，所以 ，所以 . 变式 已知 ， 是关于的方程 的两个根． （1）求实数 的值； 解：由题意得，即或 ， ， . 因为 ， 所以，解得或 ， 经验证，均符合题意，所以或 . 变式 已知 ， 是关于的方程 的两个根． （2）若 是第四象限角，求 的值． 解：因为 是第四象限角，所以，，所以 且 ， 所以 ， 即 . ［素养小结］
，
，
三个式子中，已知其中 一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是
. 探究点三 由正切求齐次式的值 例3 ［2025·江苏淮安金湖中学高一月考］已知 ，求下列各 式的值： （1） ； 解： . （2） ； 解： . 例3 ［2025·江苏淮安金湖中学高一月考］已知 ，求下列各 式的值： （3） . 解： . 变式 ［2025·江苏扬州中学高一月考］ （1）已知角 的终边经过点，求 的值. 解：由角 的终边经过点，可知 ，则 . 变式 ［2025·江苏扬州中学高一月考］ （2）若，求 的值. 解：由，得 ， 所以 ，所以 . ［素养小结］ 已知
,求
或
时,可结合平方关系
解方程组求解;求分子、分母都是
与
的 同次
次
表达式的值时,常用分子、分母同除以
化切求解,分 母是1的用
代换;求
与
的整式表达式的 值时,常利用
化为关于
的表达式求解. 探究点四 三角函数式的化简与证明 例4 化简下列各式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解： . 例4 化简下列各式： （3） . 解： . 变式 化简下列各式： （1） ； 解：原式 . 变式 化简下列各式： （2） . 解：方法 ... ...
