(
课件网) 7.3 三角函数的图象和性质 7.3.2 三角函数的图象与性质 第3课时 正切函数的图象与性质 探究点一 正切函数的定义域、值域 探究点二 正切函数的奇偶性、周期性与对称性 探究点三 正切函数的单调性及应用 探究点四 正切函数图象与性质的综合应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.借助单位圆能画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性、单调 性、奇偶性、最大（小）值. 2.借助图象理解正切函数在 上的性质. 知识点一 正切函数的图象 如图所示,正切函数的图象是被与 轴平行的一系列直线_____ _____所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线与正切函数 的图象相邻两个交点之间的距 离为 .( ) √ （2）函数图象的所有对称中心是 .( ) × （3）正切函数的图象有无数条对称轴，对称轴方程是 ， .( ) × （4）正切函数在定义域内的图象是连续不断的.( ) × 知识点二 正切函数的性质 定义域:_____; 值域:___; 周期:___; 奇偶性:由 知,正切函数是_____; 单调性:每个开区间_____都是正切函数的增区间. 奇函数 , 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）正切函数的定义域和值域都是 .( ) × （2）正切函数在定义域内无最大值和最小值.( ) √ （3）正切函数在整个定义域内是增函数.( ) × （4）函数与的最小正周期相等,都是 .( ) √ 探究点一 正切函数的定义域、值域 例1（1）［2025·江苏镇江实验高级中学高一期末］函数 的定义域是( ) A. B. C. D. [解析] 由 ,,得, ，故函数 的定义域为 .故选C. √ （2）函数 的值域是( ) A. B. C. D. [解析] 当时，， ； 当时，， . 故函数的值域是 . √ 变式（1）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. √ [解析] 令，,则函数 的定义域为 ，函数的定义域为 ， 则，可得 , ，所以 的定义域为 .故选A. （2）函数 的值域是_____. [解析] 令，则 ，所以 ，故所求函数的值域为 . ［素养小结］ （1）求函数
的定义域时，要将
视为一个整体，令
，
，求解
即可. （2）求与正切函数有关的函数值域的方法： ①对于
的值域，可以把
看 成整体，结合图象，利用单调性求值域； ②对于与
相关的二次函数，可以把
看成整体，利用配方法 求值域. 探究点二 正切函数的奇偶性、周期性与对称性 例2（1） ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 [解析] 由题意可知, 的定义域关于原点对称，且 ,所以 是偶函数. √ （2）函数 的最小正周期为( ) A. B. C. D. [解析] 函数的最小正周期 .故选A. √ （3）［2025·天津河东区高一期末］已知函数 的图象的一个对称中心为 ，则 的最小正周期可能是( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数的图象的一个对称中心为 ， 所以,，解得,，且 ，所以函 数的最小正周期,. 当时， ；当时，；当时，； 当时， ；….故选C. √ 变式（1）函数 ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 [解析] 要使有意义,必须满足即 且 ,所以函数 的定义域关于原点对称. 又,所以 是奇函数. √ （2）［2025·江苏金坛一中高一月考］已知函数 的一个周期为，则实数 的最 小值是__. [解析] 由题可知，是该函数的最小正周期的正整数倍， ，即 ,，解得,，则 的最小值为 . ［素养小结］ （1）形如
的函数的最小正周期
， 也可以用定义法求周期，还可以利用函数图象判断. （2）正切曲线的对称中心为
，解关于曲线
的对称中心的题目时需要把
< ... ... 