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课件网) 微突破（三） 三角函数中 的取值范围 问题 类型一 根据单调性求的取值范围 类型二 根据图象平移求的取值范围 类型三 根据对称性求的取值范围 类型四 根据最值求的取值范围 类型五 根据零点求的取值范围 类型六 结合函数性质求的取值范围 ◆ 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 三角函数是高考的必考考点，而函数中 的取值范围问题也是热门考点.函数 的最小正周期 ，即，也就是说只要确定了周期 ，就可以确 定 的取值. 类型一 根据单调性求 的取值范围 已知函数在 上单调递增 （或单调递减），求 的取值范围的方法： 首先，根据题意可知区间 的长度不大于该函数最小正周 期的一半，即，求得 .其次，以单调 递增为例，利用， ， 解得 的范围.最后，结合第一步求出的 的取值范围对 进行赋值， 从而求出 的具体取值范围. 例1（1）已知函数在 上单调递增， 在上单调递减，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，可得，因为在 上单调递增，所以，可得. 当 时，可得，因为 ， 所以，， 因为在 上单调递减，所以只需满足，得. 综上， .故选C. √ （2）已知函数是 上的奇函 数，且在区间上单调递增，则 的最大值是__. [解析] 因为是上的奇函数，所以 , 又 ，所以. 因为在 上单调递增,所以， 于是解得 ，所以 的最大值为 . 变式（1）已知，函数在 上单调递减， 则 的最大值为____. 10 [解析] 因为，所以， 又 在上单调递减，所以 ， 解得，， 又 ，所以，解得，， 则 或1. 当时，，当时，. 所以 的最大值为10. （2）已知函数，函数在区间 内 不单调，则 的取值范围是_____. [解析] 因为，所以， 又函数 在区间内不单调，所以，解得， 则 的取值范围是 . 类型二 根据图象平移求 的取值范围 1.平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的图象对应的函数与平移后的图象对应的函数的解析 式相同. 2.平移后的函数与原函数的图象关于轴对称： . 3.平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数解析式中. 例2（1）若将函数的图象向左平移 个单 位长度得到的图象与的图象完全重合，则 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [解析] 由题意知是函数 的最小正周期的正整数倍，所以 ，所以，所以正数 的最小值为4. 故选B. √ （2）把函数的图象向右平移 个单位长 度，得到的函数图象关于点对称，则 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 函数的图象向右平移 个单位长度， 可得的图象， 因为 是其对称中心，所以 ,， 所以, ，又，所以 的最小值为3. √ 变式（1）已知函数 的图象向左 平移个单位长度所得图象与的图象重合，则实数 的最小值 是( ) A. B. C. D.8 [解析] 由题可知， 是该函数的最小正周期的正整数倍，即 ,，解得,， 又，所以 的最小值为 .故选B. √ （2）函数的图象向左平移 个单位长度 所得图象与的图象关于轴对称，则 的最小值是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 √ [解析] 函数的图象向左平移 个单位长度 得到 的图象， 依题意得对任意 恒成立， 即对任意 恒成立， 则 ,，解得,，而，则 的最 小值为2. 类型三 根据对称性求 的取值范围 （1）函数 图象的两条相邻的对 称轴或两个相邻对称中心之间的距离为 ，相邻对称轴和对称中心之 间的距离为 ，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其 周期性，进而可以研究 的值或取值范围. （2）三角函数图象的对称轴必经过图象的最高点或最低点，图象的 对称中心就是图象与 轴的交点，我们可以利用函数的最值、对称中 心之间的关系来确定函数的周期，进而确定 的值或取值范围. 例3（1）［2025·江苏常州期中］已知函数 的 最小正周期为.若 ，且曲线关于点 中心 对称，则 ( ) A. B. C. D. √ [解 ... ...
