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课件网) 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用 探究点一 均值不等式的特殊应用 探究点二 证明不等式 探究点三 均值不等式在实际问题中的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用； 2.能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题,进一步加深 对均值不等式成立的条件的理解； 3.能够运用均值不等式解决实际生活中的应用问题. 知识点一 利用均值不等式证明不等式或求最值 利用均值不等式证明不等式或求最值时，要先观察题中不等式的结 构特征，若不能直接使用均值不等式，则考虑对代数式进行拆、并、 配等变形，使之达到能使用均值不等式的形式. 知识点二 利用均值不等式解决实际问题的一般步骤 （1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式； （2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值； （4）写出符合实际情况的答案. 探究点一 均值不等式的特殊应用 角度1 “常值代换法”求最值 例1（1）已知正实数，满足，则 的最小值为__， 此时， 满足的等量关系是_____． [解析] 因为正实数，满足 ， 所以 ， 当且仅当，即时,等号成立. 故 的最小值为，此时，满足的等量关系是 ． （2）已知，，，则 的最小值为_____ ____. [解析] 由 ，可得 ， 当且仅当，即 时，等号成立. 故的最小值为 . 变式（1）［2025·湖南邵阳高一期中］已知实数满足 ，则 的最小值为( ) A.9 B.18 C.27 D.36 [解析] 因为，所以 ，所以 ， 当且仅当，即 时取等号.故选C. √ （2）若正数，满足，则 的最小值是___. 5 [解析] 方法一:由，可得 ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故 的最小值是5. 方法二:由，得. ，， ， ， 当且仅当时等号成立，故 的最小值是5. ［素养小结］ 常值代换法求最值的一般步骤： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常值）； （2）把确定的定值（常值）变形为1； （3）把“1”的表达式与要求最值的表达式相乘或相除，进而构造和 或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 角度2 消元法求最值 例2（1）已知，，，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为，所以，又， ， 所以，则 ， 因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以 的最小值为 .故选C. （2）已知，，，则 的最小值为___. 6 [解析] 方法一（换元消元法）:由已知得， 因为， ，所以，所以， 当且仅当，即 ，时取等号， 所以 ，令， 则且，可得，故 的最小值为6. 方法二（代入消元法）:由，得 ， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以 的最小值为6. 变式 设正实数,,满足，则 的最大值为 ( ) A.4 B.2 C.3 D.1 [解析] 因为正实数,,满足 ， 所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故 的最大值为1.故选D. √ ［素养小结］ 在解含有两个变量的式子的最值问题时，通过代换的方法减少变量， 把问题化为两个或一个变量的问题，再使用均值不等式求解. 探究点二 证明不等式 例3 已知，，均为正数，求证： . 证明：因为，， 均为正数， 所以，当且仅当 时等号成立. 同理，，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当 时等号成立.将上述三个不等式两边分别相加， 并除以2，得 ，当且仅当 时等号成立. 变式 已知，， 都是实数，求证： . 证明：因为，，，所以， ， ，当且仅当 时等号同时成立， 三式相加，得 ， 则， 在①式两边同时加上 ,得 ， 则 . 在②式两边同时加上,得 ， 则 . 由③④可得 . ［素养小结］ （1）利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和” 式或“积”式，通过将“和”式转化为“积 ... ...
