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课件网) 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第3课时 零点的存在性及其近似值 的求法 探究点一 零点存在定理的应用 探究点二 二分法的概念及应用 探究点三 求方程的近似解 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数； 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数 零点近似值的步骤； 3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、 解决问题. 知识点一 函数零点存在定理 如果函数在区间 上的图象是_____的，并且 _____（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数 在区间 中至少有一个零点，即_____. 连续不断 , 【诊断分析】 若函数在内有零点，则 一定成立吗？ 解：不一定.可能在或 处无定义， 即使有定义，也可能. 如函数在 内有零点，但 . 知识点二 二分法定义 对于在区间上图象连续不断且_____的函数 ， 通过不断地把它的零点所在的区间_____，使所得区间的两个 端点_____，进而得到零点_____的方法叫作二分法. 一分为二 逐步逼近零点 近似值 知识点三 用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时，给定近似的精确度 ，用二分法 求零点的近似值，使得 的一般步骤如下： 第一步，检查 是否成立，如果成立，取_____，计 算结束；如果不成立，转到第二步. 第二步，计算区间的中点 对应的函数值，若_____， 取，计算结束；若 ，转到第三步. 第三步,若，将的值赋给（用 表示，下 同），回到第一步；否则必有，将的值赋给 ，回 到第一步. 【诊断分析】 用二分法求方程的近似解时，如何决定步骤的结束？ 解：根据精确度决定，当零点所在的区间为， 且 时，取 ，步骤结束. 探究点一 零点存在定理的应用 例1（1）［2025·福建泉州高一期中］函数 的零点所在 的区间为( ) A. B. C. D. √ [解析] 显然函数,都是 上的增函数， 所以在上单调递增，且 在 上是连续函数，所以只有一个零点， 又 ，， 所以 ，根据零点存在定理， 得的零点所在的区间是 .故选C. （2）已知函数满足，,则 在 上的零点( ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 [解析] 若，则是一次函数，因为 , ,所以，可得在 上的零点只有一个. 若，则是二次函数， 假设在 上有两个零点，则必有， 与已知矛盾，故在 上有且只有一个零点. 综上所述，在 上的零点有且仅有一个.故选C. √ 变式 ［2025·辽宁朝阳高一期中］已知函数 ，在下列区 间中，一定包含 的零点的区间是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得 , ， , ，所以一定包含零点的区间是 . 故选A. √ ［素养小结］ 若连续函数满足,则函数在内存在零点，若此时在上单调，则此零点 唯一. 探究点二 二分法的概念及应用 例2（1）下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是( ) A. B. C. D. [解析] 函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函 数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合. √ （2）已知函数， ，用二分法求方程 在区间内的实根，取区间中点为 ，那么 下一个有根的区间是_____. [解析] 因为， ， ，所以 ， 所以方程在区间 内有实根. ［素养小结］ 用二分法求函数零点时需要注意： （1）函数图象在零点附近连续； （2）该零点左右函数值异号. 探究点三 求方程的近似解 例3 用二分法求方程 的一个近似解.（精确度为0.05） 解：令，由于， ， 因此取区间 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算， 列表如下： 零点所在区间 区间中 点 中点对应的函 数近似值 取中点作为近似值时误 差小于的值 1.25 0.5 0.25 0.125 因为 ， 所以方程 ... ...
