本章总结 【知识辨析】 1.× [解析] 函数f(x)=的定义域为(-,). 2.√ [解析] 因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2)=2. 3.√ [解析] 由函数的单调性及平均变化率的定义可判断该说法正确. 4.√ [解析] 因为f(2-x)=-f(x+2),所以函数f(x+2)为奇函数,且其图象关于点(0,0)中心对称,所以函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称. 5.√ [解析] f(-2)==2,f[f(-2)]=f(2)=22-1=3. 6.√ [解析] 函数y=-x2+(x∈[2,3])是减函数,所以ymax=-22+=2. 【素养提升】 例1 (1)B (2)C [解析] (1)∵f(x)=∴f(2)=-2+2=0,∴f[f(2)]=f(0)=0+2=2,故选B. (2)y==≥,故选项A错误;因为≠0,所以y=+1≠1,故选项B错误;y=+1≥1,故选项C正确;y=x2+x+1=+≥,故选项D错误.故选C. 变式 (1)C (2)C [解析] (1)∵f(x)=且f(a)=,∴或解得a=或a=.故选C. (2)∵函数f(x)的定义域为[2,8],∴若要函数h(x)有意义,则解得1≤x≤3,所以函数h(x)的定义域为[1,3].故选C. 例2 (1)A (2)A [解析] (1)因为奇函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,且f(-3)=0,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(3)=0.令f(x)<0,解得x<-3或00,解得-33.不等式(x-2)f(x)<0等价于或解得21,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,所以f(a)>-f(b)=f(-b).因为f(x)在R上是减函数,所以a<-b,即a+b<0. 故选B. 例4 (1)B (2)B [解析] (1)由题知函数y=|x|(x-a)=a>0.当x≥0时,函数y=x(x-a)的图象为开口向上的抛物线的一部分,与x轴的交点坐标为(0,0),(a,0);当x<0时,函数y=-x(x-a)的图象为开口向下的抛物线的一部分.故选B. (2)因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.因为不等式f(x2-m)≤f(2x)对于任意x∈[2,3]恒成立,所以|x2-m|≤|2x|对于任意x∈[2,3]恒成立,所以-2x≤x2-m≤2x对于任意x∈[2,3]恒成立,即x2-2x≤m≤x2+2x对于任意x∈[2,3]恒成立.设g(x)=x2-2x,x∈[2,3],h(x)=x2+2x,x∈[2,3],则g(x)max≤m≤h(x)min.因为g(x)=x2-2x在[2,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=32-2×3=3,因为h(x)=x2+2x在[2,3]上单调递增,所以h(x)min=h(2)=22+2×2=8,所以3≤m≤8.故选B. 变式 (1)B (2)D [解析] (1)函数g(x)=的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为y=-,将函数y=-的图象向左平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式为f(x)=-,则f(-5)=-2.故选B. (2)根据函数图象可知x=2和x=4不在函数f(x)的定义域内,因此x=2和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,可得f(x)=.由图知f(3)=1,则a=-1,即f(x)=-,所以f(5)=-. (3)解:①当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x2+2x-2(x<0). 又f(0)=0,所以f(x)= ②先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的图象的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,故f(x)的图象如图所示.由图可知,f(x)的单调递增区间为[-1,0),(0,1],单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞). 例5 (1) ... ...
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