第一章 集合与常用逻辑用语 1．2 集合间的基本关系 明确目标 发展素养 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2.在具体情境中，了解空集的含义． 3.对相似概念及符号的理解． 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系. 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养． 3.借助集合间关系的判断，培养逻辑推理素养. 知识点一 子集、集合相等、真子集 1．子集 概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A；(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C 2.集合相等 概念 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A B，且B A，则A＝B 图示 结论 若A＝B且B＝C，则A＝C 3.真子集 概念 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 (1)若A B且B?C，则AC； (2)若A B且A≠B，则AB [微思考] (1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“ ”有何不同？ 提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“ ”表示集合与集合之间的关系． 知识点二 空集 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即 A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身， ； (2)若A≠ ，则 ?A [微提醒] (1)0，{0}， 与{ }之间的关系 分类 与0 与{0} 与{ } 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是 关系 0 ?{0} ?{ }或 ∈{ } 题型一 确定集合的子集、真子集 [典例1] 已知集合M满足{1,2}?M {1,2,3，4,5}，则所有满足条件的集合M的个数是( ) A．6 B．7 C．8 D．9 [解析] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下． 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}． 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}． 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． [答案] B [方法技巧] 求集合子集、真子集个数的三个步骤 【对点练清】 1．已知集合A＝{a1，a2，a3}所有的非空真子集的元素之和等于12，则a1＋a2＋a3＝( ) A．4 B．12 C．6 D．3 解析：选A 因为集合A的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，所以3(a1＋a2＋a3)＝12，即a1＋a2＋a3＝4. 2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选C 当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5； 当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3. 所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}， 共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7. 题型二 集合间关系的判断 [典例2] 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形 ... ...
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