第二章 一元二次函数、方程和不等式 2．2 基本不等式 明确目标 发展素养 1.了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题． 4．会用基本不等式求解实际应用问题. 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养. 知识点一 基本不等式： ≤ 1．重要不等式 a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 如果a>0，b>0，有≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点二 基本不等式与最值 1．已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 2．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可． 题型一 利用基本不等式比较大小 [典例1] 若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是( ) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b [解析] 法一：∵0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b， ∴a2＋b2＞2ab，a＋b＞2，a＞a2，b＞b2，∴a＋b＞a2＋b2，故选D. 法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝， 2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D. [答案] D [方法技巧] 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑．在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能． 【对点练清】 1．已知m＝a＋(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( ) A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定 解析：选A 因为a＞2，所以a－2＞0.又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2 ＋2＝4.由b≠0得b2≠0，所以4－b2＜4，即n＜4.所以m＞n. 2．已知a＞b＞c，则与的大小关系是_____． 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴≤＝. 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立． 答案：≤ 题型二 利用基本不等式求最值 [典例2] (1)已知x＞2，求x＋的最小值； (2)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值； (3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值． [解] (1)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当x－2＝即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6. (2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立， ∴x(1－2x)的最大值为. (3)∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)· ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. ∴x＋2y的最小值为18. [方法技巧] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【对点练清】 1．[变条件]若把本例(1)中的条件“x＞2”改为“x＜2”，求x＋的最大值． 解：因为x＜2，所以2－x＞0， 所以x＋＝－＋2≤－2 ＋2＝－2， 当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)， 即x＝0时，等号成立．故x＋的最大值为－2. 2．[变条件]把本例(3)中“＋＝1”改为“＋＝3”，其 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
