第三章 函数的概念与性质 3．1 函数的概念及其表示 3．1．1 函数的概念 明确目标 发展素养 1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2.体会集合和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域． 4.能够正确使用区间表示数集. 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2.借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3.借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 知识点一 函数的有关概念 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 函数值 与x的值相对应的y值 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 [微思考] (1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种理解对吗？ (2)f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：(1)这种理解不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． (2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． 2．同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． (1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数． (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数． 知识点二 区间 区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 名称 [a，b] 闭区间 (a，b) 开区间 [a，b) 半开半闭区间 (a，b] 半开半闭区间 [a，＋∞) － (a，＋∞) － (－∞，b] － (－∞，b) － 题型一 函数的概念 [典例1] 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.(1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. [解] (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． (3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． [方法技巧] 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2.根据图形判断对应是否为函数的方法 1 任取一条垂直于x轴的直线l. 2 在定义域内平行移动直线l. 3 若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有 ... ...
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