第三章 函数的概念与性质 3．2．2 奇偶性 明确目标 发展素养 1.理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征． 2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或解析式． 3.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养． 2.借助函数奇偶性的判断方法，培养逻辑推理素养． 3.借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 定义域特征 关于原点对称 奇偶性 如果函数是奇函数或是偶函数，那么称函数f(x)具有奇偶性 [微思考] 既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)＝0(x∈R)这一函数吗？ 提示：不是只有一个，有无数个，如f(x)＝0(x∈[－1,1])，f(x)＝0(x∈[－2,2])． 题型一 函数奇偶性的判断 [典例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ ＋ ； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝ [解] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称， 且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数，即f(x)既不是奇函数又不是偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． [方法技巧] 函数奇偶性的判断方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)图象法： (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 【对点练清】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝. 解：(1)函数f(x)的定义域为R. 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (2)函数f(x)的定义域是R. 因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． 2．已知函数f(x)＝试判断函数f(x)的奇偶性． 解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 ＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)． ∴f(x)是R上的奇函数． 题型二 奇函数、偶函数的图象问题 [典例2] 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． [解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称． 由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图 ... ...
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