1.4.1课时3空间中直线、平面的垂直 同步作业（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 课时3空间中直线、平面的垂直 【基础巩固】 1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（ ） A． B． C． D． 2．如图，在棱长为的正方体中，已知 ，若，则（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）在正方体中，是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点，使得平面平面 6．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则_____. 7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则_____． 8．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【能力拓展】 9．如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（ ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 10．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点满足 ，则下列说法正确的是（ ） A．若，则平面 B．若，则点的轨迹长度为 C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面 11．如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，，则的取值范围为_____. 【素养提升】 12．如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由.1.4.1 课时3空间中直线、平面的垂直 【基础巩固】 1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以，所以，解得.故选：B. 2．如图，在棱长为的正方体中，已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则，， 因为，所以，即，解得.故选：D. 3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 4．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 5．（多选）在正方体中，是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点，使得平面平面 【答案】AB 【解析】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以，故B正确； 对于C，因为平面，， 所以与平面相交，即点到平面的距离不是定值， 因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误； 对于D，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，，设， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 若存在点，使得平面平面， 则， 因为，所以无解， 所以不存在点， ... ...