1.4.2.3利用空间向量求解平面与平面的夹角 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 利用空间向量法求解二面角的步骤 （1）建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标; （2）设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量,求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面,直接取法向量即可）; （3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角,从而得到二面角的余弦值. 注意：二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角.法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为“穿”出半平面.当法向量，“一进一出”时，，的夹角就是二面角的大小；当法向量，“同进同出”时，，的夹角就是二面角的补角. 微专题训练 一、单选题 1．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解. 【详解】由题意知平面平面，如图，连接， 因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则．由图知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 故选:A． 2．点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式求解即可. 【详解】设平面的法向量，，， 则，得， 取，则，所以平面的法向量为． 又平面的法向量可取，所以， 故选：C． 3．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 4．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】通过向量夹角公式求出两平面法向量的夹角，再根据两平面夹角与法向量夹角的关系求出两平面的夹角. 【详解】因为两平面的法向量分别为，. 又，，. 所以. 所以两平面的夹角为. 故选：A. 5．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（ ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判断推理判断A；利用线面平行判断性质推理判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角、面面角判断CD. 【详解】对于A，在菱形中，，，则是正三角形， 由为边的中点，得，又，则， 而，平面，则平面， 又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，则平面， 又平面与平面的交线为，平面，因此，B正确； 对于C，由A知，，折起后仍有，，又平面， 则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 因此，C错误； 对于D， ... ...
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