1.4.2 课时1 距离问题 【基础巩固】 1．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，又， 点到平面的距离为，故选：B 2．如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离． 故选：C 3．如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由题：， 又弧长为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 即，令，则，取， 则到面距离为， 又， 所以三棱锥的体积为， 故选：C. 4．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 5．（多选）在长方体中，，，分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】，以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在中，如图： 则， ，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 因为，又平面， 所以平面，故A正确； 所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为，故D正确； 设平面的一个法向量为，又， 则，令，得， 又，所以，所以平面，故B正确； 设平面的一个法向量为，又， 则，令，得， 则点到平面的距离为，故C错误. 故选：ABD 6．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为_____. 【答案】 【解析】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 7．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 8．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面间的距离. 【答案】见解析 【解析】(1)若为的中点，连接，为的中点，则且， 由，，则且，故为平行四边形， 所以，平面，平面，故平面； (2)由(1)知直线与平面间的距离，即为点与平面间的距离， 由，，，取的中点，连接， 所以四边形为矩形，， 由是以为斜边的等腰直角三角形，，， 由，且都在平面内，则平面， 由，则平面，平面，则平面平面， 以为原点构建空间直角坐标系，则， 由平面，平面，则， 在中，则， 由，所以，可得， 所以，，则，，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 所以， 所以直线与平面间的距离为. 【能力拓展】 9．如图，在正方体中，过点作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为,则该正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 则， 设平面的法向量为，则，，，则， 令，则，设，则为线段的中点， 因，到的距离分别为，则到的距离分别为， 因，且为线段的中点，则到的距离分别为， 则， 又到的距离为，则，则，即，则， 则，，则该正方体的棱长为.故选：B 10．（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（ ） A．点到平面的距离 ... ...
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