3.1.2 函数的表示方法 知识点1 函数的表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 知识点2 求函数的解析式 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知函数f(x)的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现f(x)和f(-x)，f(x)与f 的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 知识点3 分段函数 1.定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. 2.分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 3.分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 函数解析式的求法 1、直接代入法：已知的解析式，求的解析式时常用此法．用替换解析式中的所有自变量法．例如，求的解析式时，由． 2、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 3、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 4、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 6、特殊值法：所给函数方程含有两个变量时,可对这两个变量交替使用特殊值代入,或使这两个变量相等再代入,最后利用已知条件求出未知的函数.至于取什么特殊值,根据题目特征而定. 题型一 图象法表示函数关系 1．（多选）下列图象中，是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的概念逐一验证即可求解. 【详解】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，故B的图象不是函数图象．其余的都是函数图像. 故选：ACD. 2．如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器特征可分析燃料燃烧时剩余燃料高度的变化规律，根据所给图象的变化情况可得高度 ... ...
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