空间向量运算及空间向量基本定理 ▍知识点1:空间向量的有关概念 （1）在空间中,我们把具有大小和方面的量叫做空间向量. 注意:平面向量是在二维平面中,而空间向量是在三维的空间当中. （2）向量的长度（模）:向量的大小叫做向量的长度或模,如图,其模记为或. （3）特殊向量 长度为0的向量叫做零向量,记为0 . 模长为1的向量称为单位向量. 方向相同且模相等的向量称为相等向量. 与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为. ▍知识点2:空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法运算法则: 与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为: ; ; （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律: 交换律:. 结合律:. （3）的方向和长度 当时,与向量方向相同;当时,与向量方向相反.的长度是的长度的倍.即 （4）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律: 分配律: 结合律: .其中. ▍知识点3:共线向量 （1）定义:表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线或平行向量. （2）共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b（b≠0）,a∥b的充要条件是存在实数,使. 注意:因为零向量与任意向量平行,即对任意向量a,都有0∥a.所以共线定理中的b≠0不可丢掉,否则实数不存在,但依然有a∥b. （3）方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.直线l上任意一点都可以由直线l上一点和他的方向向量去表示. ▍知识点4:共面向量 （1）定义:平行于同一个平面的向量叫做共面向量. （2）共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,使p＝xa＋yb. （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数对（x,y）,使＝x＋y.. （4）共面向量定理的推论: 空间中的一点与不共线的三点,,共面的充要条件是存在唯一的有序实数组,使得且,其中为空间任意一点. ▍知识点5:空间向量的夹角 （1）夹角的定义 已知两个非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量的夹角,记作. （2）夹角的范围 空间任意两个向量的夹角的取值范围是.特别地,当时,两向量同向共线;当时,两向量反向共线;当时,两向量垂直,记作. ▍知识点6:向量的数量积 （1）定义:已知两个非零向量, 则叫做的数量积,记作,即. 规定:零向量与任何向量的数量积为0. （2）投影向量 如图①,在空间,向量向向量投影由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,,向量称为向量在向量上的投影向量.类似地,可以将向量向直线投影（如图②）. 如图③,向量向平面投影,就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线,垂足分别为,,得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量.这时,向量,的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. （4）向量数量积的性质 ①由可得向量自身的数量积就是其模的平方. ②的充要条件是为非零向量）. ③两个非零向量的夹角可由的数量积表示: . ④对于任意向量,总有,并且只有当时,等号成立. ⑤ （5）向量数量积的运算律 数乘结合律: 交换律:; 分配律: ▍知识点7:空间向量基本定理 如果空间中的三个向量,,不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得.其中,空间中不共面的三个向量,,组成的集合{,,},常称为空间向量的一组基底.此时,,,都称为基向量;如果,则称为在基底{,,}下的分解式. 注意:基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都是共线向量,与任意两个非零向量都共面,所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. ▍知识点8:空间向量的正交分解 （1）单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基 ... ...
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