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课件网) 7.2 任意角的三角函数 7.2.2 单位圆与三角函数线 探究点一 作三角函数线 探究点二 利用三角函数线比较三角函数值的大小 探究点三 利用三角函数线证明、求解三角不等式 【学习目标】 1.能够准确画出正弦线、余弦线和正切线; 2.能够通过三角函数线求解、判断函数值的正负,解三角不等式 等问题. 知识点一 单位圆 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足_____的点组成的集合 称为单位圆.因此,如果角 的终边与单位圆的交点为,则 的坐标为 _____, 这就是说，角 的余弦和正弦分别等于角 终边与 单位圆交点的_____和_____. 横坐标 纵坐标 知识点二 三角函数线 1.正弦线和余弦线的表示 （1）概念：如图所示，如果过角 终边与单位圆的 交点作轴的垂线，垂足为，则 可以直观地表 示的方向与 轴的正方向相同时，表示 正数 负数 是_____，且；的方向与 轴的正方向相反时， 表示 是_____，且.习惯上，称为角 的余弦 线.类似地，图中的可以直观地表示 ，因此称为角 的正弦 线. （2）几何意义：利用角的正弦线和余弦线，可以直 观地看出角的正弦和余弦的信息.如图，角 的余弦 线是，正弦线是，由此可看出 ， ，而且还可以看出， . 2.正切线的表示 （1）概念：如图所示,设直线与 轴交于点 ，角 的终边与直线交于点,则 可以 直观地表示 ,因此____称为角 的正切线. （2）几何意义：当角的终边在第二、三象限或 轴的负半轴上时,终 边与直线没有交点,但终边的反向延长线与直线 有交点,而 且交点的纵坐标也正好是角的正切值,因此图中角 的正切线为____. 3.三角函数线的特征 正弦线、余弦线和正切线都称为_____. （1）方向：正弦线由轴上的垂足指向 的终边与单位圆的交点； 余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点（单位圆与 轴正半 轴的交点）指向切线与 的终边（或其反向延长线）的交点. （2）书写：起点(比如点在前，终点(比如点在后，写为 . （3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负” （与坐标轴正方向相同为正，与坐标轴正方向相反为负）. 三角函数线 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若角 的余弦线的长度为0,则它的正弦线的长度为1.( ) √ （2）在单位圆中，有相同正弦线的角相等.( ) × [解析] 在单位圆中，有相同正弦线的角可能不等，如与 有相同 的正弦线. （3）三角函数线的长度等于三角函数值.( ) × [解析] 三角函数线的长度是指有向线段的长,一定是非负实数,而三角 函数值可正可负可为零,故三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值. （4）当角 的终边在 轴上时,正弦线、正切线都变成一个点,此时角 的正弦值和正切值都为0.( ) √ （5）具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.( ) √ 探究点一 作三角函数线 ［探索］ 三角函数线的方向与三角函数值有何关系 解：当三角函数线的方向与轴（或 轴）的正方向相同时,所表示的 三角函数值的符号为正; 当三角函数线的方向与轴（或 轴）的正方向相反时,所表示的三角 函数值的符号为负. 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线. （1）;（2） . 解：如图，正弦线、余弦线、正切线分别为,, . 变式 利用三角函数线确定满足的角 的集合. 解：由题利用正弦线得出角 的终边.如图所示， 其中， ， 易知, . 在第一象限内角的终边与的终边相同, . 在第二象限内角的终边与的终边相同, . 满足条件的角的集合为 . ［素养小结］ （1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然 后过此交点作 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. （2）作正切线时,应从点 引单位圆的切线,与角的终边 （或反向延长线）交于点,即可得到正切线 .要特别注意，当角的 终边在第二 ... ...
