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课件网) 8.1 向量的数量积 8.1.2 向量数量积的运算律 探究点一 向量数量积运算律的理解 探究点二 利用向量数量积运算律求夹角、模 探究点三 利用向量数量积运算律解决几何问题 【学习目标】 掌握向量数量积的运算律,并会利用其解决有关长度、夹角、垂 直等问题. 知识点 两个向量数量积的运算律 （1）交换律： _____. （2）_____ ． （3）分配律： _____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( ) × （2） .( ) × （3） .( ) √ （4）若，则 .( ) × 探究点一 向量数量积运算律的理解 例1 下列各式中正确的个数是( ) ① ； ② ； ③若，则 ； ④若，则或 ． A.1 B.2 C.3 D.4 √ [解析] 对于①，由向量数量积的运算律知①正确； 对于②，由向量数量积的运算律可得②正确； 对于③，若 ，则， 所以，无法说明 ，故③错误； 对于④，若，则 ，无法说明一定满足或 ， 故④错误. 综上，正确的为①②，故选B. 变式 设，， 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列 结论： ① ； ②不与 垂直； ③ ； ④ . 其中正确结论的序号是_____． ①③④ [解析] 根据向量数量积的分配律知①正确； 因为 ， 所以与垂直，②错误； 因为， 不共线，所以，，构成三角形的三条边， 所以 成立，③正确；④显然正确． ［素养小结］ 向量的数量积与实数，的乘积 有联系，同时也有许多不同 之处.例如，由不能得出或 0.特别是向量的数量积 不满足结合律，即一般情况下 . 探究点二 利用向量数量积运算律求夹角、模 例2（1） [2024·福建厦门外国语学校高一月考]已知 ，则与 的夹角的余弦值为( ) A. B. C.0 D.1 [解析] 因为，所以 ， 即，则， 故 , .故选A. √ （2）[2024·贵州仁怀四中高一月考] 如图，已知向量 ,满足,,与的夹角为 ，则 ____. [解析] 因为,,, ， , ， 则 . 变式（1） [2024·安徽合肥中科大附中高一月考] 已知向量, 满足 ,,，则向量与 的夹角的余弦值 为_ ___. [解析] 由,可得,则 ， 所以 ， ， 所以, . （2）已知，,，,，且， ， ，则 _____. [解析] 因为，所以 ， 所以， 故 ． ［素养小结］ 利用向量数量积的运算律解决有关夹角和模的问题的关键是将已知 条件转化为关于和 的值. 探究点三 利用向量数量积运算律解决几何问题 ［探索］ 设平面上有四个互异的点,,, ,已知 ,则 是_____三角形 （填“等腰”或“等边”或“直角”）. 等腰 [解析] 因为 ， 所以，所以 是等腰三角形. 例3（1） 已知满足 ，则 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 [解析] 由题意得，故 ， 则，所以 是直角三角形.故选C. √ （2）[2024·辽宁沈阳同泽中学高一月考] 已知点为外接圆 上的任意一点， ，，，则 ___， 的最大值为__. 1 [解析] 因为, 所以 , 显然是向量在向量 上的投影的数 量，则当为锐角时，取得最大值. 如图，当过 延长线上一点，且垂直的直线与圆 相切时，设切点为，连接， ，此时在向 量上的投影的数量最大，等于线段的长度. 由 与圆相切，且得,又 , 所以四边形是菱形. 又 ，所以菱形 中， ,则，所以直角三角形 中，，故的最大值为 . 变式（1） [2023·海口高一期末]已知在中，向量， ， 满足且，则 为( ) A.等腰直角三角形 B.非等腰的直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 √ [解析] 由得，即 ， 则.由得， 而, 分别为与,方向相同的单位向量，则的角平分线 与 垂直，可得，则 为等腰直角三角形.故选A． （2）（多选题）[2023·苏州高一期中] 点在 所在的平面内， 则以下说法正确的有( ) A.若，则点为 的重心 B.若，则点为 的垂心 C.若 ，则点 为 的外心 D.若，则点为 的内心 √ √ [解析] 对于A，设边，，的中点分别为D ... ...
