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课件网) 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 探究点一 利用两角和与差的余弦公式化 简与求值 探究点二 给值求值 探究点三 已知三角函数值求角 【学习目标】 灵活掌握两角和与差的余弦公式,并有能力利用公式进行三角函 数式的求值、化简和证明. 知识点 两角差与和的余弦公式 1.两角差的余弦公式: _____.(简记为 2.两角和的余弦公式: _____.(简记为 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两角和与差的余弦公式中角 ， 是任意的．( ) √ （2）存在角 ， ，使 .( ) √ （3） .( ) √ （4） .( ) √ 探究点一 利用两角和与差的余弦公式化简与求值 例1（1） [2024·江苏南京六校联合体高一期中] ( ) A. B. C. D. [解析] .故选B. √ （2）[2024·贵阳清华中学、安顺一中等高一期中]已知锐角 的终边 过点，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意可得, ，则 .故选B. √ 变式 [2024·江苏扬州中学高一期中]已知 ，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 .故选D. ［素养小结］ 两角和与差的余弦公式常见题型及解法 （1）求两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接 展开求解． （2）化简含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值， 再利用两角和与差的余弦公式求解． （3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和 与差，然后利用两角和与差的余弦公式求解． 探究点二 给值求值 ［探索］ 常见的配角变换有:___ _____ _____,_____ _____ ___等. 例2（1） 已知,，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为, ， 所以 ， 则 .故选D. √ （2）[2024·河南郑州高一期末]已知 ,，若 , ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由诱导公式得， 因为 , ，,， 所以 , ， 所以 .故选A. √ 变式 （多选题）已知 为第一象限角， 为第三象限角，且 ，，则 的值可能为 ( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 因为 为第一象限角，所以, ， 所以,， 又因为 ，且，所以是第二象限角，所以 . 因为 为第三象限角，所以, ，所以 ,， 又因为 ，所以是第二象限角或第三象限角. 当 是第二象限角时，，此时 ； 当是第三象限角时， ，此时 .故选 . ［素养小结］ 应用两角差与和的余弦公式求值的一般思路 （1）把未知角转化为已知角的差或和,用公式直接求值; （2）在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差或和的余弦公式 的形式,然后用公式求值; （3）角的变换是给值求值问题中最重要的一种方法,求三角函数的值 时,往往把待求式中的角用已知的角进行转化. 探究点三 已知三角函数值求角 例3 [2024·江苏海门中学高一月考]已知 ， ，，，则 ( ) A. B. C. D.或 √ [解析] 因为，所以 ， 所以. 因为 ，，所以 ，所以 ， ， 又 ，所以 .故选B. 变式 [2024·江西九江高一期末]已知 ,， ， ，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为， ， 所以解得 所以， 又 , ，所以，所以 .故选A. ［素养小结］ 已知三角函数值求角的关键环节有两个： （1）求出所求角的某种三角函数值； （2）确定角的范围. 1. 的值为( ) A.3 B. C.1 D. [解析] .故选D. √ 2.满足 的一组值是( ) A. B. , C. , D. , [解析] 由 可得 ， 因此 ， . 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误.故选C. √ 3. 的值是( ) A. B. C. D. [解析] .故选B. √ 4.[2024·安徽淮北高二期中]已知 ， 均为锐角，且 ， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ， 均为锐角，且， ， 所以， ， 所以 . 故选C. √ 5.[2024·陕西铜川高一期末] 已知锐角 , 满足 ， ，则 _ ___. [解析] , 均为锐角， ， ， 故 . 1.两角和与差的余弦公式的结构特征 即公式的左边是和（差）角 ... ...
