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课件网) 8.1 向量的数量积 8.1.3 向量数量积的坐标运算 探究点一 向量数量积的坐标运算 探究点二 两平面向量的夹角、模的坐标表示 探究点三 向量垂直的坐标形式的应用 【学习目标】 1.掌握向量数量积的坐标表达式,能进行平面向量数量积的坐标运算; 2.能运用数量积计算两个向量的夹角; 3.能运用数量积计算向量的长度,会判断两个平面向量的垂直关系. 知识点一 向量数量积的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，分别给定与轴、 轴正方向相同的单位向 量,之后，如果对于平面内的向量，有_____,则 就是向量 的坐标，记作_____. 2.已知向量,,则 _____. 知识点二 向量模的坐标表示 1.设,则_____, _____. 2.设,,则 _____. 知识点三 两个向量的夹角公式的坐标表示 设,都是非零向量,,,, _ _____. 知识点四 向量垂直的坐标形式 若，，则 _____ _____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）的计算公式与， 两点间的距离公式是一致的．( ) √ （2）已知，，则 ( ) √ （3）已知，，则 ( ) × （4）若,,且,为钝角,则 . ( ) × 探究点一 向量数量积的坐标运算 例1（1） 已知菱形的边长为2, ，动点在 边上 （包括端点），则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 如图，以C为原点，的方向为 轴正方向， 建立平面直角坐标系， 易知， ，. 设，则 ，所以， ， 故 ，又 ，所以 ，即的取值范围为 .故选C. √ （2）（多选题）已知向量，且，那么向量 的坐标 可以是( ) A. B. C. D. [解析] 设,,即 ， 将四个选项代入验证，只有选项A,B满足上式.故选 . √ √ 变式（1） [2024·辽宁本溪高一期中]已知向量, ， 则在 上的投影的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 因为,， 所以在 上的投影的坐标为 ．故选D. √ （2）在梯形中，，，，，点 ， 在线段上移动（包括端点），且，则 的最小值为 ( ) A.1 B. C. D. √ [解析] 如图，以B为坐标原点， 所在的直线 为轴建立平面直角坐标系. 因为梯形 中，，，， 所以 . 不妨设， ， 则， 所以当时，取得最小值 .故选D. ［素养小结］ 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提， 设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的 关系设向量. 探究点二 两平面向量的夹角、模的坐标表示 例2（1） [2024·北京房山区高一期末]已知向量 ， ，且与的夹角为，则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，, ， 所以，解得或 ，故选B. √ （2）如图，在平面直角坐标系中， ， ，，是线段 上一点（不含端点）， 若，则 ( ) A. B. C.4 D. [解析] 由题图知点A，C在函数 的图象上. 设，则 ， ， 所以，解得 或 ，所以，则，故 .故选B. √ 变式（1） [2024· 广西南宁二中高一期中]已知向量 ， ，若向量在向量上的投影，则 ( ) A. B. C. D.1 [解析] 由已知可得，在上的投影为 ， 又在上的投影，所以 ， 所以 ．故选D. √ （2）（多选题）[2023·山东滨州一中高一期中] 已知向量 ，， ，则下列说法正确的是 ( ) A.与的夹角的余弦值为 B.在上的投影为 C.若与的夹角为钝角，则 D.若与的夹角为锐角，则 √ √ √ [解析] 由题知，与的夹角的余弦值为 ， 故A正确； 在上的投影为 ，故B正确； 若与的夹角为钝角，则解得 且， 故C错误； 若与 的夹角为锐角，则 解得，故D正确.故选 . ［素养小结］ 利用向量的数量积求两向量夹角或模的一般步骤 （1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. （2）利用 求出两向量的模. （3）代入夹角公式求,，并根据, 的范围确定夹角的大小. 拓展 已知点,,(其中, 为坐标 原点.若,求与 的夹角. 解：由题知 , , 即, . 又,, . 又,， ， ，,故与的夹角为 . 探究点三 向量垂直的坐标形式的应用 例3（1） ... ...
