2025年高三专项训练：圆锥曲线中的探究性问题（含解析）

2025年高三专项训练：圆锥曲线中的探究性问题 一、单选题 1.已知曲线，对于命题：垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；若，为曲线上任意两点，则有下列判断正确的是 ． A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 2.如图，某家用电暖器是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径图是该电暖器的轴截面，防护罩的宽度等于热馈源到口径的距离，已知口径长为，防护罩宽为，则顶点到防护罩外端的距离为( ) A. B. C. D. 3.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则等于( ) A. B. C. D. 4.已知点是椭圆上一点，，分别是圆和圆上的点，那么的最小值为( ) A. B. C. D. 5.已知点是双曲线下支上的一点，、分别是双曲线的上、下焦点，是的内心，且，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 6.如图，已知点在焦点为、的椭圆上运动，则与的边相切，且与边，的延长线相切的圆的圆心一定在( ) A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一个椭圆上 D. 一条抛物线上 7.平面直角坐标系中有两点和以为圆心，正整数为半径的圆记为以为圆心，正整数为半径的圆记为对于正整数，点是圆与圆的交点，且，，，，都位于第二象限则这个点都在同一( ) A. 直线上 B. 椭圆上 C. 抛物线上 D. 双曲线上 二、多选题 8.设点为曲线：上一点，，异于点是曲线上关于坐标原点对称的两点．设直线，的斜率分别为是，，且，则关于该曲线的下列结论正确的是( ) A. 当时，曲线为圆 B. 当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 C. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 9.椭圆：的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是( ) A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 椭圆的离心率为 D. 为椭圆上一点，为圆上一点，则线段的最大长度为 10.椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是( ) A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 椭圆的离心率为 D. 为椭圆上一点，为圆上一点，则线段的最大长度为 11.已知抛物线，过焦点的动直线交抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线交于点，则( ) A. 点在准线上 B. C. ，，三点的横坐标依次成等比数列 D. 三、解答题 12.已知双曲线的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点． 求双曲线的标准方程； 是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 13.已知直线与抛物线交于，两点，且线段恰好被点平分． 求直线的方程； 抛物线上是否存在点和，使得，关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 14．设，分别是椭圆的左、右焦点，的离心率为短轴长为． 求椭圆的方程： 过点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 15.本小题分 已知抛物线：的焦点为，直线：与交于，两点． 求的方程． 求的取值范围． 设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 16.已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线不与轴重合交椭圆于，两点． 求椭圆的标准方程； 若，求的面积； 是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 17.已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上 当，且为线段的中点时，证明：； 记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在， ... ...