模块素养测评卷(一) 1.C [解析] 因为数列-3,-1,1,3,5,…的前5项可以写成0-3,2-3,4-3,6-3,8-3,所以这个数列的一个通项公式为an=-3+2(n-1)=2n-5,故选C. 2.D [解析] 由f(x)=x3-2x,得f'(x)=x2-2,则f'(1)=-1.故选D. 3.C [解析] 由2a4=a3+5,得2(a1+3d)=a1+2d+5,即a1+4d=5,即a5=5,所以S9==9a5=9×5=45.故选C. 4.C [解析] ∵直线y=kx+1与曲线y=ax3+b相切于点P(1,2), ∴k+1=2,解得k=1.设f(x)=ax3+b,∴f'(x)=3ax2.由f'(1)=3a=1,解得a=.∵点P(1,2)在曲线y=x3+b上,∴+b=2,解得b=.故选C. 5.C [解析] 在等差数列{an}中,有a5+a6=a4+a7=2,又a5a6=-8,所以或因为等差数列{an}为递增数列,所以则公差d=a6-a5=6.故选C. 6.A [解析] 依题可知,f'(x)=2x-2+≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≥2x-2x2=-2+在(0,+∞)上恒成立,所以m≥.故选A. 7.B [解析] 记ai,j为第i行第j列所代表的数字,则a10,1=4+3×(10-1)=31,a10,11=31+21×(11-1)=241.故选B. 8.C [解析] 由e2-a=a,b(ln b-1)=e3,两边取对数得2-a=ln a,ln b+ln(ln b-1)=3,即a+ln a-2=0,ln b-1+ln(ln b-1)-2=0,∴a与ln b-1是方程x+ln x-2=0的实数根.令f(x)=x+ln x-2,x∈(0,+∞),则f'(x)=1+>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∵f(a)=f(ln b-1)=0,∴a=ln b-1,∵a+ln a-2=0,∴2-ln a=ln b-1,∴ln a+ln b=3,即ln(ab)=3,∴ab=e3.故选C. 9.AD [解析] 由f'(x)的图象可知,当-4≤x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当1
0,f(x)单调递增.所以当x=1时,f(x)取得极小值,f(x)无极大值.故选AD. 10.AB [解析] A中,当n∈N*时,an+1-an=2-3(n+1)-(2-3n)=-3<0,即an+1a2,故C错误;D中,由Sn=2n2+1得a1=S1=3,a2=S2-S1=9-3=6,a3=S3-S2=19-9=10,则a2-a1≠a3-a2,故D错误.故选AB. 11.ACD [解析] 当y=sin2x时,y'=2sin xcos x=sin 2x∈[-1,1],当x1=,x2=时,满足条件;当y=tan x时,y'=>0恒成立,不满足条件;当y=,x∈(-2,+∞)时,y'=当x1=-,x2=2时,满足条件;当y=ex-ln x时,y'=ex-(x>0),函数y'=ex-在(0,+∞)上单调递增,且当x=时,y'=-3<-1,当x=1时,y'=e-1>1,所以存在x1,x2,使函数在x=x1处的导数为-1,函数在x=x2处的导数为1,满足条件.故选ACD. 12.2 [解析] 由题意知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,a5=1-=-1,a6=1-=2. 13.3 [解析] 设第n层塔有an盏灯,由题意知,{an}为公比q=的等比数列,且S7=381,则S7=,即381=,解得a1=192,则a7=a1q6=192×=3,从而可知塔顶有3盏灯. 14. [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=[kex-(x-1)2],令f'(x)=0,得x=1或k=.若函数f(x)恰有两个极值点,则函数y=k与h(x)=的图象在(0,+∞)上恰有一个横坐标不为1的交点,且在该交点附近,h(x)的图象在直线y=k的两侧.h'(x)=-,令h'(x)>0,得13,故h(x)在(0,1)和(3,+∞)上单调递减,在(1,3)上单调递增,h(0)=1,h(1)=0,h(3)=,当x趋于+∞时,h(x)趋于0且h(x)>0,作出h(x)在(0,+∞)上的图象,如图所示.由图可得,k∈. 15.解:(1)∵an+1=kan+1(n∈N+,k∈R),a1=-7,a2=-6,∴-6=-7k+1,可得k=1,∴an+1-an=1(n∈N+),∴数列{an}是首项为-7,公差为1的等差数列,∴an=n-8. (2)由(1)知a8=0.当n≤8时,an≤0,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=;当n>8时,an>0,Tn=|a1|+|a2|+…+|a8|+|a9|+…+|an|=-(a1+a2+…+a8)+(a9+…+an)=+56.∴Tn=n∈N+. 16.解:(1)设切点M(t,ket),∵f'(t)=ket,∴=ket,∴t=1,∴=,又k>0,∴k=,∴f(x)=ex-1. (2)此公切线即为直线OM,∵M(1,1),∴公切线为y=x,设y=x与g(x)的图象切于点N(s,ln(s+a)),又g'(x)=,∴消去s得a=1. 17.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为S6==3(a3+a4)=66,所以a3+a4=22,又因为a16=36,所以a3+a4=(a16-13d)+(a16-12d)=22,所以d=2,所 ... ... 