6.4.1～6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

6．4　平面向量的应用 6．4.1～6.4.2　平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 【课标要求】　1.用向量方法解决简单的几何问题、简单的力学问题及其他实际问题.2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 【导学】 学习目标一　平面几何中的向量方法 　师问：把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中，你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗？ 生答： 例1 已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，试用向量方法证明AC⊥BC. 总结：(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的线性运算或性质计算； (2)坐标法：建立适当的平面直角坐标系，把相关向量坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题． 跟踪训练1　四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 学习目标二　平面向量在物理中的应用 师问：小明在拉单杠时感觉两臂的夹角越大，拉起来越费力，这是为什么？ 生答： 例2 在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小． 用向量方法解决物理问题的步骤 跟踪训练2　质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离，求物体所受各力对物体所做的功．(g＝9.8 N/kg) 【导练】 1．在△ABC中，若＝0，则△ABC的形状是(　　) A．∠C为钝角的三角形 B．∠B为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．∠A为直角的直角三角形 2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝(　　) A．(－2，－2) B．(2，－2) C．(－1，2) D．(－2，2) 3．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为(　　) A．a－v B．v－a C．a＋v D．v 4．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，若＝6，则AP＝_____． 【导思】 (多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A．若＋＋＝0，则点O是△ABC的重心 B.若·＝·＝0，则点O是△ABC的内心 C．若·＝·＝0，则点O是△ABC的外心 D．若O为△ABC外心，且2，则B为△ABC的垂心 6．4　平面向量的应用 6．4.1～6.4.2　平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 导　学 学习目标一　生答：矩形两对角线的平方和等于四边的平方和． 例1　证明： 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°. 设CD＝DA＝AB＝a， 由题意知，＝＝， ∴·＝()·() ＝·＋··· ＝0＋a2＋0－2a2＋0＋a2＝0， ∴⊥，即AC⊥BC. 跟踪训练1　证明： 在正方形ABCD中，建立如图所示的平面直角坐标系． 设正方形的边长为1，则D(0，0)，C(1，0)，B(1，1)，A(0，1)， 由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令＝λ(0<λ<1)， 而＝(1，1)，则＝(λ，λ)，即P(λ，λ)，由四边形PFCE是矩形，得E(1，λ)，F(λ，0)， 因此＝(λ，λ－1)，＝(1－λ，λ)， 则||＝＝，||＝＝， 于是||＝||， 所以PA＝EF. 学习目标二　生答：根据向量加法的几何意义，当两臂的夹角为0时，两臂的拉力分别为物体重力的一半，所以两臂的夹角越小越省力． 例2　 解析：如图，两根绳子的拉力之和＝， 且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°， 从而||＝||·cos 30°＝150(N)， ||＝||·sin 30°＝150(N)， 所以||＝||＝150(N)． 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N． 跟踪训练2　解析：木块 ... ...