1.4.2 用空间向量研究距离和夹角问题 第一章 空间向量与立体几何 新知探究 异面直线所成角 线线所成角范围： ????∈[????。,????????。] ? 线面角 线面所成角范围： ????∈[????。,????????。] ? 二面角 二面角的平面角范围： ????∈[????。,????????????。] ? 探究：能否联系向量来求解上述夹角？ 知识点1、异面直线的夹角 若直线????与????的方向向量分别为????，????，则直线????与????所成角????有： ? 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 知识点2、直线与平面的夹角 若直线????的方向向量为????，平面????的法向量为????，则直线????与平面????所成角????与向量夹角的区别与联系： ? 本质：直线与平面的夹角是直线的方向向量与平面法向量所成角的余角 或 向量夹角比线面角大90°。 知识点3、平面与平面的夹角 1、空间平面与平面的夹角的定义： 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 2、平面????的法向量为????????，平面????的法向量为????????，则平面????与????所成的角????与向量夹角的联系： ? 本质：两平面法向量夹角或者补角。 3、平面????的法向量为????????，平面????的法向量为????????，则二面角??????????????的平面角????与向量夹角的联系： ? 本质：两平面法向量夹角或者补角。 例2、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点. 求A1B与平面AEF所成角的正弦值. 跟踪训练：如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝ ????????AB ，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点. (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小. ? 证 (1) 设PA＝1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴正方向 建立空间直角坐标系(如图). 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， 设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 设SN与平面CMN所成的角为θ， 典例分析 例2 如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是 PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z G 解： 典例分析 B C D A P E F x y z 例2 如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. (3) 解法1: 典例分析 B C D A P E F x y z 例2 如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. (3) 解法2: 归纳小结 1.通过本节的学习，向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？你能用框图表示吗？ 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 2.解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．你能说出它们各自的特点吗？ 综合法以逻辑推理作为工具解决问题； 向量法利用向量的概念及其运算解决问题； 坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用． 对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法． 课后练习 课本练习 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D 课后练习 课本练习 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的 ... ...
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