(
课件网) 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 距离问题 学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题.(重点) 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 导语 立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？ 新知探究 一、点到直线的距离 问题1 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量在直线l上的投影向量其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示 如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u. ||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为 PQ==. 知识梳理 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 典例分析 典例 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离. 方法一 连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)， ∴=(-2，0，2)=(-2，3，0)， ∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4， 取a==(-2，0，2)，u== ∴a·u=∴O1到直线AC的距离d==. 方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D， 设D(x，y，0)，则=(x，y，-2)=(x-2，y，0). ∵=(-2，3，0)⊥∥ ∴ ∴D∴||==. 即O1到直线AC的距离为. 解 延伸探究 延伸探究1 在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，3，0)，M(1，0，2)，N ∴=(-2，3，0)== ∴∥ 又MN与AC不重合， ∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离. 直线AC的单位方向向量u===(1，0，-2)， ∴点M到直线AC的距离 d=== 所以直线MN与AC的距离为. 解 反思与感悟 (1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤 ①求直线的单位方向向量u. ②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. ③利用公式d=. (2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解. 新知探究 二、点、直线、平面到平面的距离 问题2 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量与n求点P到平面α的距离？ 提示 过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量在向量n上的投影向量为借助数量积运算可知||=向量的长度与P到平面α的距离相等，故点P到平面α的距离为PQ=. 知识梳理 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=. 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 延伸探究 延伸探究 (课本例6) 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离. (1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，EF 所以=(0，1，0)=(-1，1，-1)，= ===. 取a==(0，1，0)，u==(-1，1，-1)，则a2=1，a·u=. 所以，点B到直线AC1的距离为==. (2)因为==所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1. 所以点F到平面A ... ...
