第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第三章 圆锥曲线的方程 一、单选题 1．已知直线y＝kx+t与圆x2+（y+1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣3，0） D．（﹣2，0） 2．抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，则实数a的值等于（　　） A．4 B．±2 C． D．± 3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：yx的倾斜角是渐近线l1：yx的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（　　） A．x21 B．x21 C．y2＝1 D．y2＝1 4．若点P（1，2）在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 5．椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 6．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度小，已知椭圆C：1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2（．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知O为坐标原点，双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且|AF|+|FP|＝|OF|，则该双曲线的离心率为 　 　 ． 8．若关于x，y的方程1表示的是曲线C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则1＜t＜3； ②若C为双曲线，则t＞3或t＜1； ③曲线C不可能是圆； ④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜2． 其中正确的命题是 　 　 ．（把所有正确命题的序号都填在横线上） 9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲 线C上不同于A1，A2的任意一点，若△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，则双曲线C的离心率为　 　 ． 10．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．则抛物线C的方程为 　 　 ． 三、解答题 11．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线4x2﹣y2＝1的右顶点． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：y＝x﹣2与抛物线相交于A、B两点． ①求弦长|AB|； ②求证：OA⊥OB． 12．椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2． （1）求椭圆C的方程； （2）若P（m，n）在椭圆C上． （ⅰ）求证：|PF2|＝2m； （ⅱ）若|PF1|，求直线PF1的方程． 13．根据下列条件，求椭圆的方程． （1）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，且长轴长等于4； （2）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1． 14．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），焦距为2，渐近线方程为yx． （1）求双曲线C的方程； （2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点，直线PM、PN分别交x轴于点T、S，试问：|OS| |OT|是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）． 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）与双曲线1有共同的渐近线，且过点． 第三章 圆锥曲线的方程 参考答案与试题解析 一、单选题 1．已知直线y＝kx+t与圆x2+（y+1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣3，0） D．（﹣2，0） 【答案】A 【分析】由直线与圆相切可得1，把直线方程代入抛物线方程并整理，由Δ＞0求得t的范围． 【解答】解：因为直线l ... ...