第四节 函数的单调性 核心基础导学 ▍知识点1:函数的单调性 （1）单调递增 设函数的定义域为,区间.如果,,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增. 特别地,当函数在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数. （2）单调递减 设函数的定义域为,区间.如果,,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减. 特别地,当函数在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在区间上具有（严格的）单调性,区间叫做的单调区间. 如果函数在某个区间上具有单调性,那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）单调区间的正确书写 在单调性相同的多个单调区间之间用“,”“和”的方式来书写.绝对不能出现并集符号“”.确定函数的单调性必须指明单调区间. 当函数在其定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数时,不能说在上是增（减）函数,如在上是减函数,在上是减函数,不能说f（x）＝在定义域上是减函数,可以说的单调减区间为和. （5）区间端点的写法 对于单独的一点,因为它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些无意义的点,单调区间就一定不包括这些点. 例如:的单调递增区间是,也可以记为,但函数在上是减函数,就不能写成在上为减函数. ▍知识点2:函数的增减性的等价形式 设, 且,那么 ① 在是增函数. ② 在是减函数. ［对应练习:基础1、基础2、基础3］ ▍知识点3:函数单调性的性质 1.函数与（为常数）具有相同的单调性. 2.时, 函数与单调性相同（相反）. 3.若恒为正值或恒为负值,则与具有相反的单调性. 4.若都是增（减）函数,则当两者都恒大于零时,是增（减）函数;当两者都恒小于零时,是减（增）函数. 5.在公共定义域内,增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减. ［对应练习:基础4］ ▍知识点4:函数的最大（小）值 （1）函数的最大值 ①定义:对于函数,其定义域为,如果存在,,使得对于任意的,都有,那么,我们称是函数的最大值,即当时,是函数的最大值,记作. ②几何意义:函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标. （2）函数的最小值 ①定义:对于函数,其定义域为,如果存在,,使得对于任意的,都有,那么,我们称是函数的最小值,即当时,是函数的最小值,记作. ②几何意义:函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. （3）利用函数的单调性求最值的常用结论 ①如果函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么函数,在处有最大值; ②如果函数在区间上单调递递减,在区间上单调递增,则函数,在处有最小值. 注意:对于定义域为闭区间的函数,还需要确定函数在端点处的函数值的大小,将其与所求出的最值进行比较,值最大（小）者即为函数的最大（小）值. ［对应练习:基础5］ 单调性定义的理解 【典例 1】（2023·上海）已知函数,.若成立,则下列论断中正确的是（ ） A.函数在上一定是增函数; B.函数在上一定不是增函数; C.函数在上可能是减函数; D.函数在上不可能是减函数. 【典例 2】“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ） A.“存在a,,使得且” B.“存在a,,使得且” C.“存在,使得” D.“存在,使得” 【变式 3】设满足:对任意的都有,则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 【变式 4】（多选）如果函数在上是增函数,那么对于任意的、,下列结论正确的是（ ） A. B. C.若,则 D. 定义法证明单调性 基本步骤如下: ①设值:设,且; ②作差:; ③变形:对变形,一般是通分,分解因式,配方等.这一步是核心,要注意变形到底; ④判断符号,得出函数的单调性. 【典例 5】已知函数,用定义法证明函数在上单调递减. 【变式 6】已知函数,用定义法证明在区间上单调递减. 【练习 7】已知函数,用定义法证明在区间上单调递增 ... ...
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