2.2　基本不等式 导学案（3课时,含答案）高一数学人教A版必修第一册

2．2　基本不等式 2.2.1　基本不等式(1) 1. 掌握基本不等式的内容． 2. 能熟练地运用基本不等式比较两个实数的大小． 3. 能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 4. 熟练掌握基本不等式及变形的应用． 5. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 活动一 探究基本不等式 我们可以利用完全平方公式得出一类重要不等式： a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 思考1 如果a＞0，b＞0，我们用，分别代替上式中的a，b，可以得到什么？ 思考2 基本不等式表明什么意义？ 思考3 你能利用不等式的性质推导出基本不等式吗？ 思考4 如图，AB是⊙O的直径，C是AB上的一点，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 思考5 当a，b∈R时，由(a－b)2≥0可得哪些常用不等式？ 活动二 基本不等式的简单应用 例1　当a，b∈R时，下列不等关系中成立的是(　　) A. a＋b≥2 B. a－b≥2 C. a2＋b2≥2ab D. a2－b2≥2ab 活动三　利用基本不等式求最值　 例2　已知x>0，求x＋的最小值． 已知x>0，则4x＋的最小值为_____． 例3　已知x，y都是正数，求证： (1) 如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2) 如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 应用基本不等式时的注意点： 一正：两项必须都是正数；二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值，求两项积的最大值，它们的和应为定值；三相等：等号成立的条件必须存在． 活动四　利用基本不等式证明不等式　 例4　设a，b为正数，证明下列不等式成立． (1) ＋≥2； (2) a＋b＋＋≥4. 证明： (1) ＋≤－2(a，b异号); (2) a＋＋1≥3(a＞0). 活动五 利用基本不等式比较大小 例5　已知a，b为正数，比较，，，的大小． 1. (2024哈尔滨期中)若x>0，则x＋有(　　) A. 最小值6 B. 最小值8 C. 最大值8 D. 最大值3 2. 若ab>0，且a2 D. > 3. (多选)(2024绍兴月考)已知x，y为正数，且xy＝1，则下列说法中正确的是(　　) A. x＋y有最小值2 B. x＋y有最大值2 C. x2＋y2有最小值2 D. x2＋y2有最大值2 4. 已知a>0，b>0，a＋b>2，有下列四个结论：①ab>1；②a2＋b2>2；③和中至少有一个小于1；④和中至少有一个小于2，其中，正确结论的序号为_____． 5. 已知0－2，求x＋的最小值． 思考3 若将例1中x>－2改为x<－2，求x＋的最大值． 例2　已知x>0，求的最大值以及此时x的值． 已知x>1，求的最小值及此时x的值． 已知x<1，求的最大值及此时x的值． 例3　若0≤x≤3，求x(3－x)的最大值及此时的x的值． 已知0