4.2.1 指数函数的概念 1. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2. 结合具体实例，会求指数函数的解析式. 3. 从具体实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用． 活动一 指数函数的概念 对于幂ax(a>0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法，下面继续研究其他类型的基本初等函数． 问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1 005 102 2014 732 11 1 118 113 2015 743 11 1 244 126 思考1 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 思考2 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R. 特征：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1. 思考3 当底数a＝0，a＝1，a<0时，对自变量x的取值有何影响？ 思考4 函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？ 例1 在下列关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ (1) y＝2x+2； (2) y＝(－2)x； (3) y＝－2x； (4) y＝πx； (5) y＝x3； (6) y＝(a－1)x(a>1，a≠2). 根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数为自变量x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数． 指出下列函数哪些是指数函数： (1) y＝4x； (2) y＝x4； (3) y＝(－4)x； (4) y＝xx； (5) y＝(2a－1)x. 活动二 指数函数的概念及应用 例2 已知指数函数f(x)＝ax（a＞0，且a≠1），且f(3) ＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值． 求指数函数f(x)＝ax（a>0，且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可． 已知指数函数y＝f(x)的图象过点. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 求f的值． 活动三 指数增长模型 例3 (1) 在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元（不含门票）的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A， B两地旅游收入变化情况； (2) 在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 某种细菌经过60 min培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，e≈2.718 28，t表示时间（单位：h），y表示细菌 ... ...
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