5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念(1) 1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义． 2. 掌握三角函数的定义域，会求给定角的三角函数值． 活动一 三角函数的定义（单位圆法） 如图，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况． 思考1 什么是单位圆？ 根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题． 如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 思考2 当α＝时，点P的坐标是什么？ 当α＝或 α＝时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 思考3 一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y). (1) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； (2) 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； (3) 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) . ＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 y＝sin x，x∈R； 余弦函数 y＝cos x，x∈R； 正切函数 y＝tan x，x∈{x|x≠＋kπ(k∈Z)}． 例1 (1) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值； (2) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值． (1) 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β的值为( ) A. － B. － C. D. (2) 已知角α的终边经过点（－，－），则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ． 单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 活动二 坐标法求三角函数值 思考4 初中所学的“锐角的正弦、余弦、正切”是放在什么三角形中定义的？它与x，y，r，α之间有什么联系？ 思考5 对于确定的锐角α，上述三个比值是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？ 思考6 对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离r怎样用x，y来表示？比值，，是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？ 思考7 设角α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，如何求角α的各个三角函数值？ 1. 根据相似三角形的知识，只要点P不与原点重合，三角函数值不会随点P在终边上的位置的改变而改变． 2. 要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”都是没有意义的． 例2 如图，已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦、正切值． 已知角α的终边过点P(x，3)，且sin α＝，求x的值． 由于sin α，cos α，tan α的值与α的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择α终边上的特殊点来计算sin α，cos α，tan α的值，例如选择α的终边与单位圆的交点． 1. （2025杭州期末）若角α的终边经过点P(1，2)，则2sin α＋cos α的值为( ) A. B. C. D. 2. （2024泉州期末）已知角α终边上有一点P（－，1），则tan α的值为( ) A. B. － C. D. － 3. （多选）（2024丽江月考）若角α的终边经过点Pm，，sin α＝，则实数m的值可能为( ) A. B. － C. D. － 4. （2024扬州月考）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
