5.3 诱 导 公 式 5.3.1 诱导公式(1) 1. 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义，推导三角函数的诱导公式一、二、三、四． 2. 理解并掌握诱导公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简等问题． 活动一 掌握三角函数的诱导公式一、二、三、四 前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性． 探究1 终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？为什么？ 探究2 除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的终边具有另外的某种特殊关系．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则角α与角β的三角函数值之间有什么关系呢？ 探究3 若角α的终边与角β的终边关于x轴对称（如图），你有什么结论？ 思考1 由公式三，你可以得到三角函数的什么性质？ 探究4 若角α的终边与角β的终边关于y轴对称（如图），你有什么结论？ 思考2 根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？ 思考3 上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式．想一想，公式一到四的名称和符号有怎样的规律？ 公式一的作用是将角转化为区间[0，2π]上的角，公式二的作用是将区间上的角转化为区间上的角，公式三的作用是将负角转化为正角，公式四的作用是将区间上的角转化为区间上的角． 活动二 利用诱导公式解决给角求值问题 例1 求值： (1) sin ； (2) cos ； (3) tan (－1 560°). 求值： (1) cos 225°； (2) sin ； (3) sin ； (4) cos (－2 040°). 活动三 利用诱导公式解决给值求值问题 例2 已知cos (π＋α)＝－，α是第四象限角，求tan α的值． 例3 已知cos (75°＋α)＝，求cos (105°－α)＋cos (α－105°)的值． 思考4 如何探究已知角与所求角的关系？ 已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求tan 的值． 活动四 利用诱导公式研究三角函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝1－cos x； (2) g(x)＝x－sin x. 已知f(x)＝x cos x－sin x＋5，f(a)＝4，则f(－a)＝ ． 1. （2025东莞期末）tan (－330°)的值为( ) A. － B. C. － D. 2. 已知cos (53°－α)＝，则cos (127°＋α)的值为( ) A. ± B. C. D. － 3. （多选）（2024忻州期末）下列与sin 的值相等的是( ) A. cos B. cos C. sin D. sin （－） 4. （2024汕尾月考）已知cos ＝，则cos 的值为 ． 5. 已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝，且<α<π. (1) 求sin α－cos α的值； (2) 求cos3(－α)＋sin3(π＋α)的值． 5.3.2 诱导公式(2) 1.推导出诱导公式五、六，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数． 2. 能运用公式解决基本的三角函数求值、化简和恒等式证明问题． 活动一 掌握三角函数的诱导公式五、公式六 探究1 若角α的终边与角β的终边关于直线y＝x对称（如图），设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′. (1) 角α与角β的三角函数值之间有什么关系？ (2) 角－α的终边与角α的终边是否关于直线y＝x对称？ (3) 由(1)，(2)你能发现什么结论？ 探究2 利用公式三和公式五，探求sin （＋α），cos 的值与α的三角函数值的关系． 探究3 你能推导出tan （＋α），tan （－α）与tan α之间的关系吗？ 公式五与公式六的作用是实现正弦与余弦的相互转化，同时可以把区间上的角的三角函数转化为锐角的三角函数． 例1 求证：sin ＝－cos α，cos （＋α）＝sin α. 求证：sin ＝－cos α，cos ＝－sin α. 活动二 掌握诱导公式的运用 例2 已知tan α＝3， ... ...
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