第三章 函数的概念与性质 本 章 复 习 1. 理解函数的概念，能用代数运算和函数图象揭示函数的单调性、最大值、最小值、奇偶性等． 2. 会判断函数的单调性和奇偶性，并能综合运用其解决简单的问题. 3. 了解幂函数的概念，掌握五种幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1的图象特点及其性质，并会应用. 4. 在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题. 活动一 构建知识网络 活动二 探究求定义域的方法 例1 (1) 求y＝＋的定义域； (2) 已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1，1)，求函数y＝f(x)的定义域． 1. 函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示． 2. 求函数定义域的方法，主要有如下三种： (1) 已知函数解析式求函数定义域，只需使函数有意义即可． (2) 没有具体解析式时，根据已知函数定义域求解，即视为整体来求解． (3) 应用题当中，需满足问题所包含的实际意义． 特别提示：求定义域时要使每个式子都有意义，所以通常取交集. 活动三 探究求值域的常用方法 例2 (1) 求函数y＝－2x2＋4x＋6的值域； (2) 求函数y＝2x＋4的值域； (3) 求函数y＝的值域． 1. 函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应关系确定，常用集合或区间来表示． 2. 值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法： (1) 二次函数型利用“配方法”． (2) 换元法（注意换元后新元的取值范围）. (3) 形如y＝(a，c≠0)的函数用分离常数法． 特别提示：关于“配方法”，若有定义域加以限制的，可画出图象，利用图象法解决．对于值域来说，定义域和对应关系相同，值域就一定相同，即为同一函数，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域和对应关系是否相同． 活动四 探究函数解析式求解的常用方法 例3 (1) 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求函数f(x)的解析式； (2) 已知2f(x)＋f＝3x，x≠0，求函数f(x)的解析式； (3) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x≠±1)，求f(x)，g(x)的解析式； (4) 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式． 1. 换元法：将自变量如“＋1”换作另一个元素（字母）t，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于t的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的解析式，此法是求函数解析式时常用的方法． 2. 待定系数法： 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数． 3. 方程消元法： 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的． 4. 化归法：利用奇偶性的定义求某个区间上的解析式，可利用化归的思想，转化到对应的已知解析式的区间上求解． 活动五 探究分段函数 例4 (1) 求函数f(x)＝的值域； (2) 已知f(x)＝求f(5)的值； (3) 已知函数f(x)＝作出此函数的图象； (4) 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（单位：min）与相应话费y（单位：元）之间的函数图象如图所示． ①当月通话时间为50 min时，话费为多少元？ ②求y与x之间的函数关系式. 1. 求分段函数的定义域、值域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 2. 求分段函数的函数值：求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，那么需要由里到外层层处理． 3. 画出分段函数的图象：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段函数图象自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实． 4. ... ...
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