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课件网) 2.4.2 圆的一般方程 (一)教材梳理填空 1．圆的一般方程的概念 当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． D2＋E2－4F＞0 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程． ( ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程． ( ) (3)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( ) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是 ( ) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案：A [典例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法 (1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． 圆的方程的设法技巧 (1)如果是由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F. [提醒] 当条件与圆的圆心和半径有关时，常设圆的标准方程；条件与点有关时，常设圆的一般方程． 【对点练清】 1．圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程为_____． 2．已知平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3，4)三点，求△ABC的外接圆的一般方程、外心坐标和外接圆半径． 题型三 与圆有关的轨迹方程 【学透用活】 [典例3] 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么． 【对点练清】 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0. 【课堂思维激活】 一、综合性———强调融会贯通 1．已知A(－2,0)，B(0,2)，P是圆C：x2＋y2＋kx－2y＝0上的动点，点M，N在圆C上，且关于直线x－y－1＝0对称． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求△PAB面积的最大值S. ... ...
