四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为比较A、B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招 募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A,其余100名使用系统B.经过一个月的试 用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表： 备课效率 显著提升 没有显著提升 合计 使用的教学系统 系统A 75 25 100 系统B 55 45 100 合计 130 70 200 (1)记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为P,求P的估计值： (2)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析这两种A1教学系统在显著提升教师备课 效率方面是否存在差异。 2 0.05 0.005 0.001 附：2= n(ad -be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) Xa 3.841 7.879 10.828 高三数学试题第4页（共8页） 16.(15分) 已知函数f(x)=x2，设曲线y=f(x)在点(x,f(x,)》(n∈N)处的切线与x轴的交点为 (x1,0),其中x=1 (1)写出，x,并求数列{x,}的通项公式： (2)设数列{xn}的前n项和为Sn,证明：S,<4. 高三数学试题第5页（共8页） 17.(15分) 矩形A8CD的长为4，宽为2，其四边的中点拾为椭圆E+) +京=1(a>b>0)的顶点. (1)求E的方程及离心率； (2)若P,Q,R三点在以AC为直径的圆上，且直线PQ,PR均与E有且只有一个公共点， 证明：△POR是直角三角形 高三数学试题第6页（共8页） 18.(17分) 已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2. (1)证明：BD⊥平面ABC: (2)动点P满足AP=AB+AC(1∈[0，)，且点P,A,C,D,在同一球面上.设该球面的 球心为O,半径为r (i)求r的取值范围； (i)当r最大时，求二面角A-BP-O的余弦值. D C B D火 C B 高三数学试题第7页（共8页） 19.(17分) 已知函数f(x)=(m+1)sinx-xcoSx,x∈[0，. (1)当m=0时，求f(x)的值域； (2)若f(x)存在唯一的极值且为极小值，求m的取值范围： (3)设n∈R,若存在m∈(-o,0)使得m≤√2(Uf(x)-)对x∈[0，π恒成立，求n的最大值. 高三数学试题第8页（共8页）
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