课时分层训练(八) 利用三角函数测高 知识点一 测量倾斜角 1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为37°，同时测得BC＝20 m，则树的高AB为( A ) A．20tan 37° m B． m C． m D．20sin 37° m 2．如图，图1、图2分别表示用测倾器测量观测目标P的仰角和俯角，铅垂线所指的度数分别为α，β，那么我们就说观察目标P的仰角为α，俯角为β，这种说法对吗？请说明原因． 图1 图2 解：对．原因如下： 如题图1，∵BA为水平线，AC为铅垂线， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋α＝90°. ∵∠PAB＋∠BAD＝90°， ∴∠PAB＝α. 如题图2，∵AP⊥AD， ∴β＋∠CAP＝90°. ∵∠PAB＋∠CAP＝90°， ∴∠PAB＝β. 综上可得，α，β就是观察目标P时的仰角和俯角，题干说法正确． 知识点二 测量底部可以到达的物体的高度 3．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1 m，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6 m，设旗杆AB的高度为x m，则下列表达式正确的是( B ) A．tan 55°＝ B．tan 55°＝ C．sin 55°＝ D．cos 55°＝ 4．如图，在距离铁塔200 m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪AD的高为 1.5 m，则铁塔BC的高为( C ) A．(1.5＋200sin α)m B．(1.5＋200cos α)m C．(1.5＋200tan α)m D．m 5．如图，小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α，塔顶点D的仰角为β，已知该高台与塔的水平距离AB＝a，则此时塔高CD的长为( B ) A．asin α＋asin β B．atan α＋atan β C． D． 知识点三 测量底部不可以到达的物体的高度 6．如图，已知点B，D，C在同一条直线上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，CD＝a，则建筑物AB的高度为( D ) A． B． C． D． 解析：设AB＝x. 由题意，得∠ACB＝α，∠ADB＝β， ∴BD＝，BC＝. ∵CD＝BC－BD， ∴＝a， ∴x＝，即AB＝. 7．如图，学校环保小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们 先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( B ) A．20 m B．30 m C．30 m D．40 m 解析：在Rt△CDE中， ∵CD＝20 m，DE＝10 m， ∴sin ∠DCE＝＝， ∴∠DCE＝30°. ∵∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝30°，∠BCD＝90°. ∵DF∥AE， ∴∠CDF＝30°. ∴∠BDC＝60°， ∴BC＝CD·tan 60°＝20 m， ∴AB＝BC·sin 60°＝20＝30(m)． 8．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20 m的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80 m到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度． 解：设BC为x m，则AC＝(20＋x)m， 由条件知∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80 m. 在Rt△DBC中，tan 60°＝＝， 则DC＝x m， ∴CE＝(x－80)m. 在Rt△ACE中，tan 60°＝＝＝， 解得x＝10＋40， ∴小山BC的高度为(10＋40)m. 9．如图是一种太阳能路灯的简图，它由灯杆和灯管支架两部分构成，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3 m，EF＝9 m(点A，E，F在同一条直线上)．求灯管支架CD的长度． 解：如图，延长FC交AB于点G. 在Rt△ADE中，tan ∠AED＝＝tan 60°＝， ∴AD＝AE＝3 m. ∵AE＝3 m，EF＝9 m， ∴AF＝AE＋EF＝12 m. 在Rt△AFG中，tan F＝＝tan 30°＝， ∴AG＝4 m. ∵∠A＝90°，∠F＝30°， ∴∠AGF＝60°， ∴∠BDC＝∠AGF＝60°， ∴△DGC是等边 ... ...
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