课时分层训练(十一) 一定是直角三角形吗 知识点一 勾股定理的逆定理 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足a2＝b2＋c2，则△ABC的形状为( C ) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的5倍，那么得到的三角形是( C ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 解析：设原直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2， 因为三条边长同时扩大5倍， 所以扩大后的三条边长为5a，5b，5c. 所以(5a)2＋(5b)2＝25a2＋25b2＝25(a2＋b2)＝25c2. 因为(5c)2＝25c2， 所以(5a)2＋(5b)2＝(5c)2. 所以如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是直角三角形． 故选：C. 3．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为 30 ． 解析：因为△ABC的三边长分别为5，12，13， 所以52＋122＝132. 所以△ABC是直角三角形，两直角边长分别是5，12. 所以△ABC的面积为×5×12＝30. 故答案为：30. 4．如图所示的网格是正方形网格，如果△ABC和△CDE的顶点都是网格线的交点，那么∠BCA＋∠DCE＝ 45° ．(填度数) 解析：如图，连接AD. 易知由勾股定理，得AD2＝12＋32＝10，CD2＝12＋32＝10，AC2＝22＋42＝20， 所以AD＝CD，AD2＋CD2＝AC2. 所以△ACD是等腰直角三角形，且∠ADC＝90°. 所以∠CAD＝∠ACD＝45°. 观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形， 所以∠BCF＝45°，∠ECG＝45°. 所以∠BCA＋∠DCE＝180°－45°－45°－45°＝45°. 故答案为：45°. 5．如图所示的一块铁皮(阴影部分)，测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°.求这块铁皮(阴影部分)的面积． 解：如图，连接AC. 在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， 所以由勾股定理得AC＝10. 因为CD＝24，AD＝26，AC＝10， 所以AC2＋CD2＝AD2， 所以△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°. 所以S阴影＝S△ACD－S△ABC＝×10×24－×6×8＝120－24＝96. 故这块铁皮(阴影部分)的面积是96. 知识点二 勾股数 6．下列各组数是勾股数的是( D ) A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．7，12，13 D．18，24，30 7．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：① 3，4，5 ； ② 6，8，10(答案不唯一) ． 8．(1)请你观察下列勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；…；分析其中的规律，直接写出第4组勾股数： (9，40，41) . (2)若a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4，其中n＞2且n是正整数．试说明：以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形． 解：(1)通过观察得： 第1组勾股数为2×1＋1，2×12＋2×1，2×12＋2×1＋1； 第2组勾股数为2×2＋1，2×22＋2×2，2×22＋2×2＋1； 第3组勾股数为2×3＋1，2×32＋2×3，2×32＋2×3＋1； 所以第4组勾股数为2×4＋1＝9，2×42＋2×4＝40，2×42＋2×4＋1＝41. 故答案为：(9，40，41)． (2)因为a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4， 所以b2＋c2＝(4n)2＋(n2－4)2＝16n2＋n4－8n2＋16＝n4＋8n2＋16＝(n2＋4)2＝a2， 即b2＋c2＝a2. 所以以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形． 9．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( B ) A．∠A＝∠B＋∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．a2＝(b＋c)(b－c) D．a∶b∶c＝5∶12∶13 解析：A．因为∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝90°.所以△ABC是直角三角形，故此选项不合题意； B．设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，根据题意，得3x＋4x＋5x＝180，解得x＝15，则5x°＝75°，所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意． C．因为a2＝(b＋c)(b－c)，即a2＝b2－c2，所以b2＝a2＋c2.所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； D．因为52＋122＝132 ... ...
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