专题提优特训3 与一元二次方程的根有关的问题 题型1 与根的定义结合 1.(2025·湖北武汉洪山区期中)如果关于x 的一元二次方程 的一个解是x=-1，那么代数式2022—a+b 的值为 . 2.已知x=1是一元二次方程 的一个解，且a≠b，求 的值. 3.(2025·辽宁丹东期末)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程 是一元二次方程 的倒方程，其中a，b，c为常数(且a，c≠0).根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程 的倒方程是 ; (2)若x=-1是一元二次方程 0 的倒方程的解，求出 c 的值； (3)若m 是一元二次方程 的倒方程的一个实数根，则 2 025的值为 . 题型2 与根的判别式结合 4.(2024·湖州一模)对于关于 x 的一元二次方程 的根的情况，有以下四种表述： ①当a<0,b+c>0,a+c<0时,方程一定没有实数根； ②当a<0,b+c>0,b-c<0时,方程一定有实数根； ③当a>0,a+b+c<0时,方程一定没有实数根； ④当a>0,b+4a=0,4a+2b+c=0时,方程一定有两个不相等的实数根. 其中表述正确的序号是（ ）. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5.(2025·云南昆明五华区期中)若关于 x 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为 . 6.已知关于x 的一元二次方程 2k+2=0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于-3，求k 的取值范围. 7.已知一元二次方程 的一个根为2. (1)求q 关于p的关系式； (2)求证：方程 有两个不相等的实数根； (3)若方程 有两个相等的实数根，求方程 的两根. 题型3 与根与系数的关系结合 8.(2025·江苏连云港灌南期中)有两个一元二次方程为A:ax + bx+c=0,B:cx + bx+a=0,其中a-c≠0，下列四个结论中，错误的是（ ）. A.如果方程A 有两个不相等的实数根，那么方程 B 也有两个不相等的实数根 B.如果方程A 两根符号相同，那么方程B 的两根符号也相同 C.如果2是方程A 的一个根，那么 是方程B的一个根 D.如果方程A 和方程B 有一个相同的根，那么这个根必是1 9.整体思想(2025·江苏南京东南实验学校月考)若关于x的方程 的两根之和为p，两根之积为 q，则关于 y 的方程a(y- 的两根之积是 . 10.已知关于x的一元二次方程 3m+6=0的两根是一个矩形的两邻边的长. (1)求证：不论实数m 取何值，方程总有实数根. (2)当矩形的对角线长为5 时，求m 的值. (3)当m 为何值时，矩形为正方形 11.若 为一元二次方程 0的根. (1)方程的另外一个根β= ,t= ; (2)求 的值； (3)求作一个关于 y 的一元二次方程，使其二次项系数为1，且两根分别为α ,β . 专题提优特训3与一元二次方程的根有关的问题 1.2024 [解析]把x=-1代入方程 ,得a-b+2=0,所以a-b=-2,所以2022-a+b=2022-(a-b)=2022+2=2024. 2.把x=1代入方程,得a+b=20. 又a≠b,所以 思路引导 利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出关于所找到的相等关系的形式，最后把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值. (2)由题意，得方程 的倒方程为 1=0,把x=-1代入方程,得c+2+1=0,∴c=-3. (3)2025 [解析]由题意,得方程- 的倒方程为 ∵m是方程. 的一个实数根， 2025=2025. 4. B [解析]①当a=-1,b=3,c=-2|时,满足a<0,b+c>0,a+c<0,此时.△=3 -4×(-1)×(-2)=1>0,即方程有两个不相等的实数根，故①错误；②∵b+c>0，b-c<0,∴c>0.∵a<0,∴-4ac>0,∴△=b -4ac>0,即方程有两个不相等的实数根，故②正确；③当a=1，b=-1，c=-1时,满足a>0,a+b+c<0,此时. 1-4×1×(-1)=5>0,即方程有两个不相等的实数根,故③错误;④∵a>0,b+4a=0,4a+2b+c=0,∴b= ，即方程有两个相等的实数根，故④错误.综上所述，正确的是②.故选B. 5.49 [解析]根据题意得 ∴原式 6.(1)∵在方程 中， 1) ≥0，∴方程总有两个实数根. ∵方程有一根小于-3,∴k+1<-3,解得k<-4, ... ...
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