2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛B卷一试试题(图片版,含解析)

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试试题(B卷) 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.设集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14，则A∩B的 元素个数为 2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，则cos2a的值为 3.若1og3x,log(3x,1og2,(9x)成等比数列，则正数x的值为 4.设复数z满足z+i与z2+2i均为实数(i为虚数单位)，则23+3i的值 为 5.若x,y>0且x+y=1,则y+1++2的最小值为 X y 6.设五，E分别为椭圆T子+ +京=1(a>b>0)的左、右焦点，若T上存在 一点P,使得直线FP,FP的斜率分别为号，2，则r的离心率为 7.平面中的3个单位向量8,6，c满足a-6≥分，6c≤-，则6+3+d的最 大值与最小值之和为 8.从20个数1,2,3，…，20中选出4个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为 2025的倍数，则不同选法的数目为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 9.(本题满分16分)设f(x)是定义域为R的函数，g(x)=(x-1)f(x), h()=)+x.若g为奇函数，)为偶函数，求f03f9的值， f(2)f(4)…f(100) 10.（本题满分20分)在平面直角坐标系中，一条过点(0,1)的直线1经过点 集工={x,川产=x+3引x划中的四个点(x,)6=12,3,4).求1+1+上+1 X1 X2 X3 X4 的取值范围， 11.（本题满分20分)对整数n≥3，在一个棱长均为1的正n棱柱的所有3n 条棱中，随机选取两条不同的棱1，，将事件“1所在直线与，所在直线平行”发 生的概率记为P·是否存在两个不同的正整数k,1(k,1≥3)满足P=P？证明你 的结论.2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试(B卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次， 第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分， 1.设集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14}，则A∩B的 元素个数为 答案：2. 解：在B的元素中，2°，2"，2都不是平方数，2小于2025，所以它们都不 属于A,而22=642∈A,2=1282∈A,所以A∩B的元素个数为2. 2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，则cos2a的值为 答案：0. 解：sina=c0s20c0s25°-sin20°sin25°=c0s(20°+259=cos45°=Y5 故cos2a=1-2sin2a=0. 3.若logx,log(3x),log7(9x)成等比数列，则正数x的值为 答案：3诚号 解设g=,则岁2告设特比数列.所以生当=2告，化 2,3 得？+21-3=0，解得1=1或-3.相应有x==3或27 4.设复数：满足z+i与z2+2i均为实数(i为虚数单位)，则2+3i的值 为 答案：√5】 解：由z+ieR,可设z=a-i(a∈R),则z2+2i=(a-i)2+2i. 再由z2+2i∈R可知m(z2+2i)=-2a+2=0,得a=1,故z=1-i. 计算得z3=-2-2i,因此3+31=-2+i=5, 5.若xy>0且x+y=1,则+1++2的最小值为 答案：3+2W6. 解：由条件并利用基本不等式，可知 y+1+x+2_+22+3r+22=3+2Y+3x y x y ≥3+2， 2y.3x=3+2N6. 当=3x(即x=6-2,y=3-6)时，+1++2取到最小值3+26. x y 6设R,￡分别为椭圆r:号+茶=1>b>0)的左、右焦点，若r上存在 一点P,使得直线FP,P的斜率分别为号2，则Γ的离心率为 答案：⑤ 解：将△PFF的三个内角∠FPF,∠PFF,∠PFF分别记为a,B,Y· 由条件易知P在第一象限，anB=2tam)=-2.进而 tana=tan(180°-B-y)=-tan(8+y）)= tan 8+tan3 1-tan Btany 4 所以0m8-5=2 5 由于FF是T的焦距，PF+PE是r的长轴长，且由正弦定理知 FR PFI_IPRI sina sinB sin 3 所以下的离心率e= FR sina 5 5 PF+PF siny+sinB 2w5+5 5 5 , ... ...