第十节 专题:圆锥曲线离心率问题专练 ▍求离心率的值及范围的思路与方法 （1）直接法:若已知,可直接利用求解.若已知,或,可借助于求出或,再代入公式求解. （2）方程法:若,的值不可求,则可根据条件建立,,的关系式,借助于,转化为关于,的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,即可求得的值或范围. 无论哪种方法,最后的目的都是建立,,的数量关系.求离心率及离心率取值范围的问题解题思虑往往涉及多个知识点,对学生的综合分析能力要求较高.通过对问题的不同思考方向和思路,可以把离心率的问题分为一下几种类型: 类型1:对于简单离心率问题,可以通过圆锥曲线的定义与相关性质直接求解得到,,的关系式. 类型2:通过定义与给定的条件对几何特征关系与性质进行分析,通过几何关系设法得到数量关系,建立,,的关系式. 类型3:利用圆锥曲线的有界性,可以得到,,的不等式关系,往往用于求离心率取值范围的题型. 类型4:对于数量关系较为复杂的题型,可尝试将各边关系通过,,表示出来,再通过正余弦定理解三角形,建立,,的数量关系式. 类型5:坐标法也是处理离心率的一种方法,可将向量比例等问题转化为坐标形式,在坐标系中建立数量关系.也可采用联立方程的方式,得到交点坐标的关系式,通过坐标关系找到,,的数量关系. 通过圆锥曲线性质求解 【1】已知双曲线的上、下焦点分别为,点在该双曲线上,则双曲线离心率为（ ） A.4 B.3 C.2 D. 【2】（2024·江西高二阶段练习）已知,椭圆:和:的离心率分别为,,则（ ） A. B. C. D.,的大小不确定 【3】已知椭圆的焦距大于2,则其离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【4】已知椭圆 中,,则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【5】已知是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得,则椭圆的离心率为 . 【6】已知双曲线 的一条渐近线方程是,则的离心率是_____. 【7】若椭圆 的离心率为,则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【8】若双曲线 的一条渐近线经过点,则双曲线的离心率为_____. 【9】已知为双曲线的两个焦点,为上一点,若,且为等腰三角形,则的离心率为（ ） A. B.2 C.或 D.2或3 【10】（2024·全国模拟）在中,, 以顶点为焦点且过点的双曲线离心率记为,以顶点为焦点且过点的双曲线离心率记为,则_____. 【11】设圆锥曲线的两个焦点分别为,.若曲线上存在点P满足,则曲线的离心率等于（ ） A. B. C.或 D.或 【12】双曲线: 的右焦点为,且点到双曲线的一条渐近线的距离为1,则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【13】已知双曲线与直线无公共点,则双曲线离心率的最大值是（ ） A. B.2 C. D. 【14】设双曲线的左右焦点分别为,过作平行于轴的直线交于两点,若,则的离心率为 . 通过几何特征建立数量关系 【15】已知椭圆的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形,则该椭圆的离心率为 . 【16】已知椭圆 的左、右焦点分别为、,点P为C上一点,若,且,则椭圆C的离心率为_____. 【17】已知双曲线C的顶点为,,虚轴的一个端点为B,且是一个等边三角形,则双曲线C的离心率为（ ） A.2 B. C.3 D. 【18】P是椭圆 上的一点,F为椭圆的右焦点,轴,过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点,则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【19】已知 是椭圆的两焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于 两点,若为直角三角形,则该椭圆离心率的值为（ ） A. B. C. D. 【20】已知椭圆C: 的左焦点为F,若F关于直线l:对称的点在椭圆C上,则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【21】已知椭圆E: 的左、右焦点分别为,,若E上恰有4个不同的点P,使得为直角三角形,则E的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【22】（2024·河北邢台高二练习）已知,分别是椭圆的左、右焦点,动直线与交于两点,当的周长最大时,,则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【23】 ... ...
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