陕西省商洛市柞水中学2025-2026学年高二第一学期开学考试数学试题（含答案）

陕西省商洛市柞水中学2025-2026学年高二第一学期开学考试 数学试题及参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，则（ ） . . . . 2.已知复数满足，则（ ） . . . . 3.已知函数，则的最小值是（ ） . . . . 4.总体由编号01,02，…，19,20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） . . . . 5.设为所在平面内一点，，则（ ） . . . . 6.已知，，，则的大小关系正确的是（ ） . . . . 7.已知角的终边上有一点，则（ ） . . . . 8.如图，正方体的棱长为2，分别为的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） . . . . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） .在点运动过程中，直线与始终为异面直线 .三棱锥的体积为定值 .异面直线与直线所成的角为定值 .在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 10.设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ） .若是对立事件，则 .若是对立事件，则 .若是互斥事件，，，则 .若是互斥事件，，，则 11.已知函数的图象关于直线对称，则（ ） .的图象关于点对称 .在区间上单调递减 .在区间内有两个极值点 .将的图象向下平移1个单位长度即可得到的图象 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12.在中，若，，，则 . 13.函数的最小正周期为 . 14.已知向量满足，，且，则 . 15.某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53,59,61,62,67,75,77,80,82,86,90,93，则这组数据的第75百分位数为 . 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（12分）求值： （1）； （2）； （3）. 17.（14分）如图，直三棱锥中，，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 18.（14分）已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间. 19.（16分）记的内角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若，求的外接圆的面积； （3）若，求的最小值. 20.（16分）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩方差； （2）已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； （3）为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A B A C B 二、选择题 9 10 11 ABC BD ABD 三、填空题 12.或 13. 14. 15. 四、解答题 16.解：（1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . 17.解：（1）连接，交于点，连接， 则直三棱锥中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）取中点为，连接，i的中点， 故，又底面， 故底面，底面，故， 又为的中点，则， 又，即，故， 又，故平面， 又平面，可得. 18.解：（1） ， ∵的最小正周期为，∴. （2）由题意及（1）得，， 当单调递增时，， 解得， ∴的单调递增区间为. 19.解：（1）∵，∴， 由正弦定理得：， 即， 在中，，即， 又，∴. （2）设外接圆的半径为，当时，由正弦定理得， 可得，故此时外接圆的面积为. （3）由余弦定理可得， 即，当且仅当时取等号， 故的最小值为2. 20.解：（1）由题估计所有男生的平均成绩为： . ... ...