平面向量的数量积 课前学习任务 一、课标解读 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 二、必备知识 1.平面向量数量积的概念 (1)向量的夹角 已知两个 向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹 角是,我们说a与b垂直,记作 . (2)平面向量的数量积 已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为 . (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. [教材知识深化] 1.投影向量仍然是一个向量. 2.向量a在b上的投影向量与b共线,其模等于|a||cos
|=;向量b在a上的投影向量与a共线,其模等于|b||cos|=. 3.向量a在b上的投影向量=|a|cose(e为与b同向的单位向量). 2.平面向量数量积的性质及坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 向量的有 关概念 几何表示 坐标表示 模 |a|= |a|= 数量积 |a||b|cos θ x1x2+y1y2 夹角 cos θ= cos θ= A(x1,y1), B(x2,y2) 两点的距离 |AB|=|| |AB|= a⊥b的充 要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 注意别与平行的 坐标公式混淆 |a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤ |a||b| |x1x2+y1y2|≤ 3.向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 数乘结 合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数) [教材知识深化] 向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c. 三、自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个向量的夹角的范围是0,. ( ) (2)由a·b=0可得a=0或b=0. ( ) (3)在△ABC中,设=a,=b,则a与b的夹角为∠ABC. ( ) (4)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. ( ) 2.(人教A版必修第二册习题6.2第11(2)题改编)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,则|a+b|= . 3.(人教A版必修第二册6.2.4节例10)设|a|=12,|b|=9,a·b=-54,求a与b的夹角θ. 4.(人教A版必修第二册6.2.4节例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b). 二、连线高考 5.(2024·北京,5)已知向量a,b,则“(a+b)(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的( )条件. A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2023·全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos=( ) A. B. C. D. 课堂核心考点 考点一 平面向量数量积的运算 例1(2023·全国乙,文6)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则=( ) A. B.3 C.2 D.5 [对点训练1](1)(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)(2024·辽宁教研联盟模拟)设M,N是圆O上两点,若MN=2,则=( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 考点二 平面向量数量积的应用 考向1 向量的模 例2(1)(2024·新高考Ⅱ,3)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ( ) A. B. C. D.1 (2)(2023·新高考Ⅱ,13)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= . [对点训练2](1)(2024·广东深圳模拟)向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则 ... ... 
