2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试 空间向量与立体几何（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试 空间向量与立体几何 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a=(2,-1,3),b=(4,x,y),且a∥b,则x+y= (　　) A.-4 B.-2 C.4 D.2 2.如图,在四面体PABC中,E是AC的中点,=3,设=a,=b,=c,则= (　　) A.a-b+c B.a-b+c C.a+b+c D.a-b+c 3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是 (　　) A.(-1,1,1) B.(1,1,1) C. D. 4.在四面体OABC中,空间的一个点M满足=++λ,若M,A,B,C四点共面,则λ等于 (　　) A. B. C. D. 5.已知两条异面直线的方向向量分别是m=(1,-2,3),n=(2,1,0),这两条异面直线所成的角为 (　　) A. B. C. D. 6.已知O是坐标原点,空间向量=(1,1,2),=(-1,3,4),=(2,4,4),若线段AB的中点为D,则||= (　　) A.9 B.8 C.3 D.2 7.若A(2,2,1),B(0,0,1),C(2,0,0),则点A到直线BC的距离为 (　　) A. B. C. D. 8.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,AE⊥平面ABCD,若AE=1,则平面ADE与平面BCE的夹角为 (　　) A.45° B.60° C.120° D.150° 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是 (　　) A.(2a+b)∥a B.5|a|=|b| C.a⊥(5a+6b) D.a在b上的投影向量为 10.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1D1的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.BF⊥CE B.DF∥平面B1CE C.BF⊥平面B1CE D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为 11.在直三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E,F分别是BC,A1C1的中点,D在线段B1C1上,则下列说法正确的有 (　　) A.EF∥平面AA1B1B B.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C.若D是B1C1的中点,M是B1A1的中点,则点F到平面BDM的距离是 D.直线BD与直线EF所成的角最小时,线段BD的长为　 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则λ=　　　　. 13.(5分)已知向量n=(2,0,1)为平面α的一个法向量,点A(-1,1,2)在α内,则点P(1,2,3)到平面α的距离为　　　　. 14.(5分)为了测量一斜坡的坡度,小明设计如下的方案:如图,设斜坡面β与水平面α的交线为l,小明分别在水平面α和斜坡面β选取A,B两点,且AB=7,A到直线l的距离AA1=3,B到直线l的距离B1B=4,A1B1=2,则斜坡面β与水平面α所成角的大小为　　　　. 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,M,N分别是A1B,A1C1上的点,且2BM=A1M,C1N=2A1N, 设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c 表示向量;(5分) (2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,求线段MN的长.(8分) 16.(15分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AD=2,CD=DD1=1,M,N分别为AD1,BC的中点. (1)求证:MN∥平面C1D1DC;(9分) (2)判断MN与平面B1C1M是否垂直,并说明理由.(6分) 17.(15分)如图,正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD,且AB=3,PB=4. (1)求点A到平面PCD的距离;(7分) (2)线段BP上是否存在点E,使得DE⊥平面PAC 若存在,求出该点位置;若不存在,请说明理由.(8分) 18.(17分)如图,在三棱锥P ABC中,AB=AC,D是BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上, 已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)求证:AP⊥BC;(7分) (2)若点M是线段AP上一点,且AM=3,求平面ABC与平面BCM夹角的余弦值.(10分) 19.(17分)如图,在矩形ABCD中,AD=,取CD的中点M,将△ADM和△BCM分别沿直线AM,BM折叠, 使D,C两点重合于点P,得到三棱锥P ABM. (1)当AB=2时,求证: ... ...