第六节 向量法求空间距离 重点题型专练 ▍知识点1:向量法求空间距离方法总结 向量法求空间距离 点到直线的距离 设为直线上一点,为直线的方向向量, 在向量方向的投影向量模长为,点到直线的距离. 两平行直线,之间的距离 平行直线,之间距离可看成直线上一点到直线的距离,则, 其中是直线的方向向量. 点到平面的距离 设为平面的法向量,是平面的一条斜线,,则点到平面的距离等价于向量在方向上投影向量的模长,即. 直线到平面的距离 直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离,即直线到平面的距离 两平行平面的距离 与平面平行的平面到平面的距离等价于平面上一点到平面的距离,即 异面直线,之间的距离 设,直线,的公共法向量为（公共法向量的求法与平面的法向量求法相同）,则异面直线,之间的距离为向量在方向上投影向量的模长,即,其中,. 求空间两点间距离 【典例 1】在空间直角坐标系中,点到点的距离为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【练习 2】空间两点,间的距离等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.9 【练习 3】空间两点,,点关于平面对称的点为,则两点间的距离为（ ） A.6 B. C. D. 【练习 4】在空间直角坐标系中,点与两点间的距离为,则（ ） A.2或4 B.2 C.4 D. 点到直线（平行直线）的距离 【典例 5】已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【变式 6】（2024·江苏南通高二）在空间直角坐标系中,已知点,则点到直线的距离为（ ） A. B.2 C. D.3 【练习 7】（2024·黑龙江）AD为三角形ABC边BC上的高,在空间直角坐标系中,, ,_____. 【练习 8】（2024·郑州高二期中）已知点, ,则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【练习 9】在三棱锥中,,,两两垂直,且,,,三角形重心为G,则点P到直线的距离为_____. 【练习 10】已知正方体的棱长为是棱的中点,若点在线段上运动,则点到直线的距离的最小值为_____. 【练习 11】（2023·江苏高二课后作业）如图,已知正方体的棱长为1,分别是和的中点,求直线和之间的距离. 点到平面的距离 【典例 12】在棱长为1的正方体中, 为线段的中点,则点到平面距离为（ ） A. B. C. D.1 【变式 13】（2024·北京高二期中）在棱长为1的正方体中,是线段上一点,则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【练习 14】（2024·浙江宁波高二期中）如图,棱长为1的正方体,中M,N点,分别是线段,的中点,记E是线段的中点,则点E到面的距离为（ ） A. B. C. D. 【练习 15】如图,四棱锥中,底面BCDE为正方形,,,,两两垂直且相等,点为棱的中点,点在棱上,且,则点到平面的距离为 . 【练习 16】已知点,,, ,则点到平面的距离为 . 【练习 17】在如图的直四棱柱中,底面是正方形,是的中点,点N是棱上的一个动点,求点到平面的距离的最小值. 直线到平面的距离 【典例 18】（2024·湖南高二阶段练习）在棱长为1的正方体中,分别是的中点,则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【练习 19】（2024·上海高二课后作业）如图,在长方体中,.则直线到平面的距离为_____. 【练习 20】（2024·河南高三阶段练习）如图,在棱长为1的正方体中,直线到平面的距离等于 . 【练习 21】如图,棱长为1的正方体中,E为线段的中点,F为线段AB的中点.则直线FC到平面的距离为_____. 平面到平面的距离 【典例 22】（2024·全国）正方体的棱长为1,则平面与平面的距离为_____. 【练习 23】（2022·全国高二课后）已知点, ,,,则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为 . 【练习 24】（2022·全国）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点,且两平面的一个法向量为,则两平面间的距离是 . 【练习 25】（2022·湖南高二）在棱长为的正方体中,、分别是、中点,则平面与平面之间的距离为_____. 异面直线间的距离 【典例 26】（2024·高三专题）正方体的棱长为分别为的中点,则异面直线与 ... ...
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