第4节 向量法研究直线、平面的位置关系 讲义（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

所以 M,B, D1 的坐标分别为 0，3，2 , 3,3,0 , 0,0,3 , 第四节 法向法研究直线、平面的位置关系 因此 MB 3,0, 2 , MD1 0, 3,1 , MBD 核心基础导学 设 n2 (x, y, z) 是平面 1 的法向量,则 n2 MB , n2 MD1 , 【1】C l n MB 3x 2z 0解析:依题意,直线 的一个方向向量为 PQ (3， 1， 1) (1， 0， 2) (2， 1 3) ， , 2所以 , C n2 MD1 3y z 0其他三个均不合要求.故选: . 【2】A z 3 x 2 y 1 n 2,1,3 MBD 取 ,则 , .于是 2 是平面 1 的一个法向量. 解析:因为 l1 l2 ,即 a b ,则 a b 2 2 4y 4x 0 ,所以 x y 1 . 【10】详见解析 故选:A 解析:（1）以 D为原点, DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x, y, z 轴,建立 【3】D 空间直角坐标系, 解析:直线 l 过点 A 0,a,3 和 B 1,2,b 两点,故 AB 1,2 a,b 3 则 D(0,0,0),A(6,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,3),A1(6,0,3),C1 (0,2,3) , 又直线 l 的一个方向向量 m 2, 1,3 ,所以 AB//m , 所以 DD1 (0,0,3) , 所以 AB m ,所以 1,2 a,b 3 2 , ,3 , 因为 DD1 平面 ABCD ,所以 DD1 为平面 ABCD 的一个法向量, 1 所以平面 ABCD 的一个法向量为 DD1 (0,0,3) , 2 1 2 （2）设平面 ACC1A1 的法向量为 m (x, y, z) , 3 所以 2 a ,解得 a ,所以 a b 3 .故选:D 因为 AC ( 6,2,0),AA1 (0,0,3) , 3 b 3 2 b 3 m AC 6x 2y 0 2 所以 ,令 x 1 ,则 m (1,3,0) , m AA1 3z 0 【4】B 所以平面 ACC1A1 的一个法向量为 m (1,3,0) , 解析:因为 l1 l2 ,则其方向向量 a b , a b 1 ( 2) 2 3 ( 2)m 0 , （3）设平面 ACD1 的法向量为 n (a,b,c) , 解得 m 2 .故选:B. 【5】A 因为 AC ( 6,2,0),AD1 ( 6,0,3) , 解析:因为直线 l1,l2 的方向向量分别为 a (1, 3, 1),b (8,2,2) , n AC 所以 6a 2b 0 ,令 a 1 ,则 n (1,3,2) a b (1, 3, 1) (8,2,2) 8 6 2 0 ,所以 a b ,即 l1 l2 .故选:A. n AD1 6a 3c 0 【6】A 所以平面 ACD1 的一个法向量为 n (1,3,2) 解析:因为直线 l1 和 l2 不重合,所以 d d 可以推出 l1 / /l2 ,而 l1 / /l1 2 2 只 能推出 d1 与 d2 共线,不一定相等,所以 d1 d2 是 l1 / /l2 的充分非必要条 件.故选:A. 【7】 5,7, 3 解析:设 n x, y, z 是平面 的一个法向量, n a 0, 由直线与平面垂直的判定定理知 n b 0, x 2y 3z 0, 即 2x y z 0. 重点题型专练 x 5 , 【11】证明见解析 z 1 x 2y 3, 3 不妨设 ,得 解得 解析:以点 D为原点,分别以 DA、 DC 与 DD1 的方向为 x、y与 z轴的 2x y 1, y 7 , 正方向,建立空间直角坐标系. 3 n 5 7 ∴平面 的一个法向量 , ,13 3 . 【8】详见解析 解析:如图建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1 ,则 A 1,0,0 、 C 0,1,0 、 C1 0,1,1 、 B1 1,1,1 、 A1 1,0,1 ,所以 AC 1,1,0 , AB1 0,1,1 , AA1 0,0,1 ,设面 A1ACC1 的法向量为 则 D 0,0,0 、 A 3,0,0 、 C 0,4,0 、 B 3,4,0 、 D1 0,0,3 、 A1 3,0,3 、 m A C x y 0m x, y, z ,所以 ,令 x 1 ,则 y 1 , z 0 ,所以 C1 0,4,3 、 B 3,4,3 , m AA1 z 0 1 由题意知 P 3,0,2 、 Q 0,2,3 、 S 0,4,1 、 R 3,2,0 , m 1,1,0 ,即平面 A1ACC1 的一个法向量为 m 1,1,0 ,设平面 ACB1 的 ∴ PQ 3,2,1 , RS 3,2,1 . 法向量为 n a,b,c n AC a b 0 ,则 ,令 a 1 ,则 b 1 , c 1 ,所 n AB b c 0 ∴ PQ RS ,又 PQ , RS 不共线, 1 PQ∥RS 以 n 1,1, 1 ∴ .,所以平面 ACB1 的一个法向量为 n 1,1, 1 ; 【12】证明见解析 解析:由题意知,直线 DA,DC,DP 两两垂直, 以 D为坐标原点, DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z轴建立空 间直角坐标系,如图所示, 则 D 0,0,0 ,A 1,0,0 ,P 0,0,1 ,N 0, 1 , 1 ,M 1 1 2 4 , ,0 , 4 2 【9 】详见解析 所以 AP ( 1,0,1),MN 1 ,0, 1 4 4 , 解析:（1）因为 x轴垂直于平面 ABB1A1 ,所以 n1 (1,0,0) 是平面 ABB 1A1 的 一个法向量. 所以 MN 1 AP ,又 M AP , ... ...