第7节 向量法求空间夹角 讲义（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

A 1,0,0 ,B 1,0,0 ,C 1,2,0 ,D(0,0, 3) , AD ( 1,0, 3),BC (2,2,0) , 第七节 向量法求空间夹角 cos AD,BC A D BC 2 2因此 , | AD || BC | 2 2 2 4 重点题型专练 AD BC 2所以 与 所成角的余弦值为 ． 1 【1 4】 7 4 13 22O OA,OB x y 【 】解析:以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴,建立如图所 88 示的空间直角坐标系, 解析:取 BC 的中点为 O,DE 的中点为 O ,连接 A O , A O , OO , 因为正三角形 ABC 中, AD 2DB , AE 2EC , 所以 DE / /BC,DE = 2 BC ,则四边形 DECB 为等腰梯形, 3 故 OO DE ,OO BC ; 由翻折性质可得 A E A D , A EC A DB,EC DB , 则 A EC A DB , A C A B, O 是 BC 的中点, A O BC , 则 A( 3,0,0),B(0,2,0),A1( 3,1, 3),O1(0,1, 3) , 平面 A BC 平面 DBC ,平面 A BC 平面 DBC BC ,A O 平面 A BC , 所以 A1B ( 3,1, 3),O1A ( 3, 1, 3) . A O 平面 DBC ,又 OO 平面 DBC , A O OO 设所求的角为 , 以点 O 为坐标原点以 OC,OO ,OA 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角 |A 1 B O 1 A |cos | 3 1 3| 1则 , 坐标系, |A1B||O1A| 7 7 7 1 即异面直线 A1B 与 O1A所成角的余弦值为 .7 21 【2】 14 因为正 ABC 的边长为 6,DE / /BC,DE 2 BC , 解析: 3 则 A DE 为正三角形,边长为 4 ,则 A O DE , A O 2 3 , OC OB 3,OO 3 , 在 A OO 中,由勾股定理得 OA (2 3)2 ( 3)2 3 , 三棱锥 P ABC 中的三条棱 AP,AB,AC 两两互相垂直, 3 以 A为原点,分别以 AB,AC,AP 所在的直线为 x 轴, y 轴, z轴,建立 A 0,0,3 ,D 2, 3,0 ,E 2, 3,0 ,C(3,0,0),M ,0, 3 , 2 2 如图所示的空间直角坐标系, A D 2, 3, 3 ,EM 1 3 AP π AC a PBA AB 3a 则 , 3, ,设 ,因为 ,则 , 2 2 6 C 0,a,0 , P 90,0,a , B 3a,0,0 , PB 3a,0, a , AP 0,0,a , 1 3 cos A D,EM A D EM 13 22 2 , 1 1 A D EM 1 9 88AD AP PD AP PB (0,0,a) ( 3a,0, a) ( 3a ,0, 3a) , 4 3 4 4 4 4 4 4 3 3 π A 0,0,0 , D a,0, a , 异面直线所成角的取值范围为 0, , 4 4 2 A D EM 13 223 异面直线 与 所成角的余弦值为 .CD a, a, 3 a , AB 3a,0,0 , 88 4 4 2 设异面直线 CD 与 AB所成角为 , 【5】 0, 5 . 3 2 CD AB a 21 解析:以 AC 的中点 O 为坐标原点, OB为 x 轴建立如下图所示的空间 cos | cos CD, AB | 4则 , 直角坐标系 O xyz , CD AB 28 2 14a 3a 16 故异面直线 CD 与 AB 21所成角的余弦值为 . 14 3 2【 】 4 解析:由 ABC 为以 BC 为斜边的等腰直角三角形,得 AC AB , 又 AC BD ,且 BD AB B,BD,AB 平面 ABD ,则 AC 平面 ABD , 又 AC 平面 ABC ,于是平面 ABC 平面 ABD ,取 AB的中点 O ,连接 则 A 0, 1,0 、 B 3,0,0 、 C 0,1,0 、 D 0,0,1 、 B1 3,0,1 , DO ,由△ABD 是等边三角形,得 DO AB ,而 DO 平面 ABD ,平面 ABD 平面 ABC AB ,则 DO 平面 ABC , 所以 AD 0,1,1 , BB1 0,0,1 , B1C 3,1, 1 , 以 O 为坐标原点,直线 OA,OD分别为 x, z 轴,过点 O 且垂直于平面 所以 BM BB1 B1M BB1 B1C 3 , ,1 , ABD的垂线为 y 轴,建立空间直角坐标系． 2 因为向量 AD 与 BM 的夹角小于 45 ,所以 cos AD,BM 1 , 2 2 1 即 1 2 2 2 ,解得 0 ,2 4 2 1 5 2 所以实数 的取值范围是 0, 5 ． 令 AB 2 ,则 3 13 3 11 设直线 EF 与 A1C1 所成角为 ,E 2,m,2 (0 m 2) ,则 FE 1,m 2,2 . 【6】 , 13 11 所以 A1C1 FE 2m 6 cos cosA1C1,FE A1C1 FE 2 2 (m 2) 2 5 解析: 1 m 2 6m 9 1 2 1 2 m2 4m 9 2 m 9 . 4 m 9 5 1 1 20 m 2 m 1因为 ,所以 ,即 5 9 ,于是有 以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA 所在直线分别为 x, y, z m 2 m 4 1 轴,建立空间直 m 角坐标系, 1 1 2 1 因为底面 ABCD 是正方形, AB 2 , AA1 3 , 5 m 9 4 , 所以 B1 2,0,3 ,C 2,2,0 ,C1 2,2,3 , E m,m,0 , 0 m 1 , m B1E m 2,m, 3 ,CC1 0,0,3 10 1 2 2, 1 所以 ... ...