令 x 2 ,得 y 2, z 1. 第五节 专题:求平面法向量专题训练 ∴ m (2, 2, 1) 即为平面 BDEF 的一个法向量.(答案不唯一). 【4】 3,2, 2 重点题型专练 解析:连接 PF ,CF ,因为 PAB 是边长为 1的正三角形, PA PB ,F为 【1】 n (2, 1,1) AB的中点,所以 PF AB ,又因为平面 PAB ⊥平面 ABCD ,平面 解析:因为 SA 平面 ABCD , AB,AD 平面 ABCD ,故 SA AB,SA AD PAB 平面 ABCD AB , PF 平面 PAB ,所以 PF 平面 ABCD . 又 ABC 90 , AD / /BC ,所以 AB AD , 连接 AC,因为 AB BC , ABC 60 ,所以 ABC 是等边三角形,又 F为 所以以 A 为原点,以 AD , AB , AS 的方向分别为 x 轴, y 轴, z轴的正 AB的中点,所以 CF AB . 方向建立空间直角坐标系,如图所示, 综上可知,直线 FB,FC,FP 两两垂直, 所以建立以 F 为原点, FB,FC,FP 分别为 x 轴, y 轴, z轴的空间直角坐 标系 F xyz ,如图所示: 则 A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2) , 所以 AD (1,0,0) 是平面 SAB的一个法向量. 因为 SC (2,2, 2) , SD (1,0, 2) 设平面 SCD 的一个法向量 n (x, y, z) , 则 3由题意,在正 PAB 和正 ABC 中, FP FC , 2 n SC 2x 2y 2z 0 x 2y ,取 z 1 ,得 x 2, y 1 , n SD x 2z 0 x 2z 则 F 0,0,0 ,D 1, 3 ,0 3 3 ,E 0, , , 2 4 4 所以 n (2, 1,1) 是平面 SCD 的一个法向量. 【2】 3, 1, 3 3 3 3所以 FE 0, , ,FD 1, ,0 , 4 4 2 解析:因为 PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD为矩形,所以 AB,AD,AP两两垂 设平面 DEF 的一个法向量为 n x, y, z , 直. 3 3 y z n FE 0 y z 0 4 4 则 ,即 ,化简得 3 , n FD 0 x y x 3 y 0 2 2 令 y 2 ,则 x 3, z 2 ,即 n 3,2, 2 A AB x AD y AP z 所以平面 DEF 的一个法向量为 n 3,2, 2 （答案不唯一）. 如图所示,以 为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立空间 直角坐标系 A－xyz, 【5】 n (1, 2 ,1) 则 A(0，0，0) , C(1, 3,0) , P(0,0,1) , D(0, 3,0) E(0, 3 , 1, ) , 解析:取 AB中点 E,连接 PE, PA PB ,则 PE AB , 2 2 因为平面 PAB 平面 ABC,平面 PAB 平面 ABC AB ,且 PE 平面 3 1 PAB ,所以 PE 平面 ABC, BC 平面 ABC,所以 PE BC , 于是 AC (1, 3,0) , AE (0, , ) , 2 2 又因为 PA BC ,且 PE PA P , PA 平面 PAB, PE 平面 PAB , 设平面 ACE的一个法向量为 n (x, y, z) , 所以 BC 平面 PAB . 所以得 BC,BA,PE两两垂直,所以以 B为原点,BC,BA所在的直线分别 n AC 0 x 3y 0 x 3y 为 x,y轴,以过点 B与 PE平行的直线为 z轴,建立空间直角坐标系,如图 则 ,即 ,所以 , n AE 0 3 y 1 z 0 z 3y 所示, 2 2 令 y 1 ,则 x 3 , z 3 ,即 n 3, 1, 3 所以平面 ACE的一个法向量 n 3, 1, 3 . 【3】 n ( 2,2,0) ; m (2, 2, 1) C 4 6 ,0,0 P 0, 2 3 , 2 6 4 3 故可得 , , A 0, ,0 , 3 3 3 3 4 6 4 3 解析: CA , ,0 PA 0, 2 3 2 6 可得 , 3 3 , 3 3 , 设平面 CPA 的法向量为 n x, y, z , 4 6 4 3 由题意,可得 D 0,0,0 ,B 2,2,0 ,A 2,0,0 ,C 0,2,0 ,E 1,0,2 , CA n 0 x y 0 由 3 3 ,得 . 连接 AC,因为底面为正方形,所以 AC BD , PA n 0 2 3 y 2 6 z 0 又因为 DD1 平面 ABCD , AC 平面 ABCD ,所以 DD1 AC , 3 3 且 BD DD1 D ,则 AC⊥平面 BDD1B1 , 令 y 2 ,可得 x 1 , z 1 ,所以 n (1, 2 ,1) , ∴ AC ( 2,2,0) 为平面 BDD1B1 的一个法向量. 故平面 BDD1B1 的向量 【6】 n 2 , 1, 1 n ( 2,2,0) (答案不唯一). 解析:因为 CD 平面 ABD,CD BD ,所以过 D作平面 BCD的垂线为 z DB (2,2,0),DE (1,0,2). 轴,以 D为原点, DB,DC 分别为 x 轴, y 轴建立如图所示空间直角坐标 设平面 BDEF 的一个法向量为 m (x, y, z) , 系. y x, 设 AD 1 ,则 BC 3,AB a,BD 2 CD 2 9,BD 2 a 2 1,CD 2 a 2 4 , n DB 0 2x 2y 0, 则 , n DE 0 x 2z 0, z 1 x. A 3 6 2 解得 a 2 , ,0, ,C 0, 6 ,0 ,E 3 6 , ,0 , 3 3 ... ...
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