第十一章 本章总结提升（课件 学案）高中数学人教B版（2019）必修 第四册

本章总结提升 【知识辨析】 1.×　2.×　3.×　4.×　5.√　6.× 7.×　8.√　9.√　 【素养提升】 题型一 例1　(1)B　(2)C　[解析] (1)连接BB',由题可知∠BC'B'为此保温带的轮廓线与水管母线所成的角.过B'作B'E⊥BC'于E,由题可知BB'⊥B'C',可得∠BB'E=∠BC'B'.因为水管的直径为4 cm,所以BB'=4π cm,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的,所以B'E=4×=1(cm),所以cos∠BB'E==,即cos∠BC'B'=,故选B. (2)由平面DEE1D1∥平面ABB1A1可知,DD1 EE1 AA1,三角形CDE与三角形C1D1E1全等,四边形ABED和四边形A1B1E1D1全等,根据棱柱的定义可知Ⅰ,Ⅱ都是棱柱.故选C. 变式　(1)D　(2)12　[解析] (1)画出该半正多面体的展开图,如图所示,连接AF,AT,易知AT⊥FT.由半正多面体的棱长为2,可得FT=8,AT=2,故AF==2,所以FM+MN+AN≥AF=2,当且仅当在展开图中A,N,M,F四点共线时等号成立.故选D. (2)不妨设正方体的棱长为2,EF的中点为O,分别取CD,CC1的中点G,M,设侧面BB1C1C的中心为N,连接FG,EG,OM,ON,MN,如图.由题意可知,O为球心,在正方体中,EF===2,即以EF为直径的球的半径R=,球心O到CC1的距离为OM===,所以球O与棱CC1相切,球面与棱CC1只有1个公共点,根据正方体的对称性知,其余各棱和球面也只有1个公共点,所以以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点. 题型二　 例2　(1)AC　(2)28　[解析] (1)如图,取AC的中点D,连接OD,PD,PO,则OD⊥AC,PD⊥AC,故∠PDO为二面角P-AC-O的平面角,得∠PDO=45°.因为∠APB=120°,PA=2,所以AB=2,PO=1,故圆锥的体积V=×π×()2×1=π,故A正确;S圆锥侧=π××2=2π,故B错误;由∠PDO=45°,可得DO=1,故AC=2×=2,故C正确;易知PO⊥DO,由PO=1,DO=1,得PD=,则S△PAC=×2×=2,故D错误.故选AC. (2)方法一:依题意可知,原正四棱锥的高为6,故棱台的体积V=V大正四棱锥-V小正四棱锥=×42×6-×22×3=28. 方法二:由题可知所得棱台的高为3,上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,由棱台的体积公式可得棱台的体积V=×(42+22+)×3=28. 变式　(1)D　[解析] 将三棱锥P-ABC补形为一个直三棱柱PBC-AMN,如图,取E,D分别是上、下底面的外心,则ED的中点O是外接球的球心.由题得底面外接圆的半径为PD=1,OD=PA=1,则OP=,即外接球的半径为,故三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4π×()2=8π.故选D. (2)解:(i)由题意得,模具内壁的面积即为三棱柱内切球的表面积, 如图①,过侧棱的中点作正三棱柱的截面,则球心为△MNG的中心, 因为MN=3 cm,所以△MNG的内切圆的半径r=OH=MH==(cm), 所以内切球的半径R= cm,所以内切球的表面积S球=4πR2=3π(cm2). (ii)由题意得,制作该模具所需材料的体积即为三棱柱的体积减去内切球的体积, 由(i)得正三棱柱的高h=AA1=2R=(cm), 因为V三棱柱=S底·h=(cm3),V球=πR3=π(cm3),所以所求体积V=V三棱柱-V球=-π(cm3). (iii)如图②,易知OM= cm,则AO==(cm),所以模具顶点到内壁的最短距离为AO-R= cm. 题型三 例3　解:(1)证明:连接BD, ∵四边形ABCD为平行四边形,∴G是BD的中点, ∴GH是△DBF的中位线,∴GH∥BF. (2)存在满足题意的点P,P是棱CD的中点,证明如下: 如图,连接PG,PH,由(1)可知GH∥BF, ∵GH 平面GHP,BF 平面GHP, ∴BF∥平面GHP. ∵P,H分别是CD,DF的中点,∴HP∥CF, 又HP 平面GHP,CF 平面GHP, ∴CF∥平面GHP, 又BF∩CF=F,BF,CF 平面BCF, ∴平面GHP∥平面BCF. 变式　解:(1)证明:如图①,连接BD交AC于点O,连接OE,易知O为BD的中点, 因为E为PD的中点,所以EO是△BPD的中位线,所以EO∥PB. 又EO 平面AEC,PB 平面AEC,所以PB∥平面AEC. (2)在PC上存在一点G,且CG=2GP,使得FG∥平面AEC,证明如下: 如图②,在PA上取点H,且AH=2HP, 因为AF=2FB,所以在△PAB中,==, 所以HF∥PB, 因为PB∥平面AEC,HF 平面AEC, 所以HF∥平面AEC. 在△PAC中,==,所以HG∥AC, ... ...