第四节 专题:直线的对称与最值问题 重点题型专练 ▍知识点1:直线与点的对称问题的方法 求线段垂直平分线 已知,求线段的垂直平分线的方程的方法如下: （1）线段的中点的坐标为; （2）当时,求直线的斜率; （3）线段的垂直平分线的斜率; （4）线段的垂直平分线的方程为 点关于直线的对称问题 点关于点的对称点的问题,主要依据两项原则: ①是线段的中点. ②与点所在的直线相互垂直. 设点关于直线的对称点为,则可求 直线关于点的对称问题 求直线关于点对称的直线的步骤: 方法一:回代法 （1）在上任取一点; （2）求关于的对称点; （3）将的坐标代入直线的方程,化简得所求的方程. 方法二: （1）直线与直线的斜率相同,所以只需要求出直线所过一点,即可求出直线的方程; （2）在直线上任取一点; （3）求关于的对称点. （4）将的坐标代入所设直线的方程,化简得所求方程 方法三:在已知直线上找两点,求出这两点关于点的对称点,根据求出的两个对称点求出对称直线. 方法四:直线与直线的斜率相同,根据对称点到两直线距离相等求出对称直线. 直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称有两种类型: （1）若已知直线与对称轴相交于点,则交点必在关于对称的直线上,再求出上除点外任意一个已知点关于对称的点,那么经过交点及点的直线就是. （2）若已知直线与对称轴平行,则关于对称的直线到直线的距离和到直线的距离相等,由平行直线系和两条平行直线间的距离公式即可求出关于对称的直线. 点关于直线对称问题 【典例 1】若点与关于直线对称,求点的坐标. 【练习 2】若点与关于直线对称,求点的坐标. 【练习 3】已知点关于直线对称,则对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【练习 4】已知点、,若、关于直线对称,则实数的值是（ ） A.3 B.1 C. D. 【练习 5】已知点与点关于直线l对称,则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 【练习 6】（2023·河北）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上,则的最小值是（ ） A.25 B. C.17 D. 【练习 7】已知直线和点 （1）请写出过点且与直线平行的直线; （2）求点关于直线的对称点的坐标. 【练习 8】已知直线,试求: （1）与直线的距离为的直线的方程; （2）点关于直线的对称点的坐标. 直线关于点的对称问题 方法1:回代法 【典例 9】已知直线的方程为,若直线和直线关于点对称,求直线的方程. 【练习 10】已知点的坐标为,直线的方程为,求直线关于点的对称直线的方程. 【练习 11】已知直线:,点A,求直线关于点A的对称直线的方程. 【练习 12】已知,直线,求直线关于点的对称直线的方程. 方法2:找点对称法 【典例 13】求直线关于点对称的直线的方程. 【练习 14】已知直线,求直线关于点对称的直线方程. 【练习 15】已知直线,试求直线关于点对称的直线方程. 【练习 16】求直线关于点的对称直线的方程. 【练习 17】若直线与关于点对称,求的方程; 【练习 18】求直线,关于点的对称直线的方程. 直线关于直线对称问题 【典例 19】求直线关于直线对称的直线的方程. 【练习 20】（2024·高二专题）求直线关于直线对称的直线方程. 【练习 21】求直线关于直线的对称直线的一般式方程. 【练习 22】（2023·高二专题）求直线关于直线的对称直线的方程. 【练习 23】求直线关于直线对称的直线方程. 【练习 24】如果直线与直线关于直线对称,求的值. 有关角平分线的直线方程 【典例 25】已知的顶点所在直线方程为,角平分线所在直线的方程为,求 （1）点的坐标; （2）求直线方程. 【练习 26】已知的顶点,,一条角平分线所在直线为,求点A坐标. 【练习 27】已知的顶点,边上的高线所在的方程为,角的角平分线交边于点,所在的直线方程为. （1）求点的坐标; （2）求直线的方程. 【练习 28】已知顶点,边上中线所在直线方程是,的角平分线所在直线方程是. （1）求顶点 ... ...
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