第八节 AG nG ACF 6所以点 到平面 的距离为 2 . n 专题:夹角的范围与探索性问题大题专练 3 2 1 【3】（1）证明见解析（2）存在实数 ,理由见解析 重点题型专练 3 解析:（1） 【1】（1）证明见解析（2）存在, 3 因为四边形 ABCD是菱形,所以 BD AC . 解析:（1）因为 AB//CD , AD DC CB 2 , DAC 30 , 因为 BD PC , AC , PC 平面 PAC ,且 AC PC C ,所以 BD 平面 所以 DCA 30 , ADC 120 ,故 PAC . DCB 120 , ACB DCB DCA 120 30 90 , 因为 PA 平面 PAC ,所以 BD PA . 2 所以 BC AC ,又因为平面 ACFE 平面 ABCD ,平面 ACFE 平面 因为 PB 2AB 2PA ,所以 PB AB 2 PA2 ,即 AB PA . ABCD AC , BC 平面 ABCD ; 因为 AB , BD 平面 ABCD ,且 AB BD B ,所以 PA 平面 ABCD . 所以 BC 平面 ACFE ; （2） （2）以 C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 取棱 CD 的中点 F ,连接 AF ,因为四边形 ABCD是菱形, BAD 120 , 设 FM m , 0 m 2 3 所以 ACD,则 为等边三角形,故 AF ⊥ CD , 又 PA 平面 ABCD , AB,AF 平面 ABCD ,A 2 3,0,0 , B(0,2,0) , M (m,0,1) , AB 2 3,2,0 , AM m 2 3,0,1 所以 PA AB , PA AF ,故 AB , AF , AP两两垂直, , 故以 A 为原点,分别以 AB , AF , AP的方向为 x , y , z轴的正方向,建 设平面 ABM 的法向量为 n x, y, z , 立空间直角坐标系. n AB 0 2 3x 2y 0 由 可得: , n AM 0 m 2 3 x z 0 令 x 1 ,则 n 1, 3,2 3 m ,取平面 BCF 的法向量为 m 1,0,0 , m n 1 7 cosm,n m n 2 7 ,解得: m 3 或 m 3 3 ,4 2 3 m 0 m 2 3 m 3 FM 3 设 AB 2 ,则 A 0,0,0 , C 1, 3,0 , D 1, 3,0 , P 0,0,2 ,由于 ,故 ,即: 的长度为 . 故 AC 1, 3,0 , PD 1, 3, 2 , AP 0,0,2 , 所以 AE AP PE AP PD , 3 ,2 2 , 设平面 ACE 的法向量为 n x, y, z , n AC x 3y 0 则 , n AE x 3 y 2 2 z 0 【2】（1）证明见解析（2） 2 3 令 x 3 ,得 n 3, 1, . 解析:（1）因为四边形 ABCD 为正方形, DE 平面 ABCD , 1 如图以 D为原点,分别以 DA,DC,DE 的方向为 x, y, z 轴的正方向,建立 平面 PAB 的一个法向量为 m 0,1,0 ,设面 PAB 与面 ACE 所成的锐二 空间直角坐标系, 面角为 , 则 D 0,0,0 ,A 2,0,0 ,B 2,2,0 ,C 0,2,0 ,E 0,0,2 ,F 2,2, 1 , n m 2 cos cosn,m 1 2 19 则 n m 3 2 19 ,4 2 2 1 整理得 3 2 1 2 1 0 ,解得 或 1（舍去）. 3 1 故存在实数 ,使得面 PAB 与面 ACE 所成锐二面角的余弦值是 3 2 19 . 19 PF 1 AC 2,2,0 ,EF 3 【4】（1）证明见解析（2）存在, 所以 2,2, 2 , PC 4 解析:（1）在 PD上找中点 G,连接 AG,EG,如图: 所以 AC EF 2 2 2 2 0 0 , 所以 AC EF ,所以 AC EF . （2）设线段 DE 上存在一点 G 0,0,h ,0 h 2 ,使得 BG 与 AD所成角的 2 余弦值为 , 3 则 BG 2, 2,h ,又 AD 2,0,0 , ∵G和 E分别为 PD和 PC的中点, 4 2 1 所以 cosBG,AD ,解得 h 1（负值舍去）, ∴ EG / /CD ,且 EG CD , 8 h2 2 3 2 又∵底面 ABCD是直角梯形, CD 2AB , AB / /CD , 所以存在 G 0,0,1 满足条件, ∴ AB / /GE 且 AB GE .即四边形 ABEG为平行四边形, 所以 AG 2,0,1 ,依题意可得 AC 2,2,0 ,AF 0,2, 1 , ∴ AG / /BE , 2 ∵ AG 平面 PAD, BE 平面 PAD, 设 n x, y, z 为平面 ACF 的法向量, ∴ BE / / 平面 PAD; （2）因为 PA 平面 ABCD , AB,AD AC n 2x 2y 0 平面 ABCD , 则 ,设 x 1 ,可得 n 1,1, 4 , 所以 PA AB,PA AD ,又 AB AD , AF n 1 2y z 0 2 以 A为原点,以 AB所在直线为 x轴,AD所在直线为 y轴,AP所在直线 为 z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 【6 6】（1） （2）存在,M是 AB的中点或 A是 MB的中点. 6 解析:（1）∵PC⊥AC,∴∠PCA=90°, ∵AC=BC,PA=PB,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB , ∴∠PCA=∠PCB=90°,即 PC BC , 又 AC BC C ,AC、 BC 平面 ACB, 可得 B 1,0,0 , C ... ...
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