第十一章 滚动习题(三)[范围11.1]（含解析）高中数学人教B版（2019）必修 第四册

滚动习题(三) 1.B　[解析] 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故选B. 2.A　[解析] 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,所以圆锥的底面周长为2πr,侧面积为πrl,底面面积为πr2.因为圆锥的表面积是底面积的4倍,所以πrl+πr2=4πr2,解得l=3r,所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为=.故选A. 3.C　[解析] 如图①,在直观图中,过点B'分别作x'轴和y'轴的平行线,与x'轴和y'轴分别交于点M,N,因为△OAB的直观图是腰长为1的等腰直角三角形,所以O'A'=O'B'=1,A'B'=,则A'的坐标为(1,0),MB'=A'B'=,B'N=O'M=1,还原直观图,如图②所示,则B的坐标为(-1,2),A的坐标为(1,0),故AB==2,故选C. 4.C　[解析] 设侧面三角形底边上的高为h,底边长为a,则ah=,即ah=h2-,化简得4h2-2ah-a2=0,即4-2×-1=0,则=(负值舍去).故选C. 5.C　[解析] 设正方体的棱长为a,则该正方体的体积为a3=8,所以a=2,所以该正方体外接球的直径2R=a=2,所以R=,所以该球的体积为πR3=4π.故选C. 6.A　[解析] 设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面周长L=2πr,∴r=,∴V=πr2h=π··h=.令≈,得π≈.故选A. 7.BD　[解析] 由正方体的对称性可知,截面的形状不可能为三角形和五边形,截面的形状只可能为四边形和六边形,如图.故选BD. 8.ACD　[解析] 设梯形ABCD为圆台的轴截面,则内切圆O为圆台内切球的大圆,如图,设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,圆O的半径为R,则O1,O,O2共线,且O1O2⊥AB,O1O2⊥CD.设圆O与边AD的切点为E,连接OD,OE,OA,则OD,OA分别平分∠ADC,∠DAB,故∠OAD+∠ODA=,所以∠DOA=,又OE⊥AD,所以R2=r1r2=3,解得R=,故圆台的高为2R=2,母线长为r1+r2=4,圆台的表面积为π(12+32)+π(1+3)×4=26π,球O的表面积S=4πR2=12π.故选ACD. 9.2　[解析] 如图,在正三棱锥P-ABC中,D为BC的中点,PA=3,AB=,连接AD,由正三棱锥的性质可知,顶点P在底面的射影O为正三角形ABC的中心,则AO=AD===1,所以PO===2,即此正三棱锥的高为2. 10.40　[解析] 要打磨一个体积最大的球形配件,则球内切于该圆锥,作出圆锥的轴截面,如图所示,O为内切球球心,H为内切球与底面圆的切点,连接AO,CH.设内切球的半径为r,AH=x,则r=x,CH=x,所以V圆锥=×π·x2·x=·x3,V球=r3=××x3=x3,则==,则球形配件的重量为×90=40(克). 11.π　[解析] 如图,连接BD,则AD⊥BD,分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F.因为∠BAD=,所以∠ABD=,因为AB=4,所以AD=AB=2,DF=ADsin=,AF=ADcos=1.同理BC=2,CE=,BE=1,则EF=AB-AF-BE=4-1-1=2.因为DF⊥AB,CE⊥AB,CE=DF,所以四边形CDFE为矩形,故CD=EF=2,所以所求几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积,故所求几何体的体积V=π×23-2××π×()2×1-π×()2×2=π. 12.解:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,由AB=2,BC=2,AA1=4,E为棱DD1的中点, 可得A1C1=A1E=C1E=2, 则==×2×2=2,=×2×2=2,=×(2)2=2, 所以三棱锥E-A1C1D1的表面积=3×2+2=6+2. (2)由题可得=·BB1=×2×2×4=8,VE-ACD==·D1E=××2×2×2=,所以=-VE-ACD-=8-2×=. 13.解:(1)由题意,该漏斗的表面积S=5×22+4××22=20+4(平方米). (2)将漏斗表面展开,如图①所示, 由两点间距离最短可得线段A'P为蚂蚁爬行的最短路径, 过点P作PQ⊥A'A交A'A的延长线于点Q, 则AQ=AP·cos 30°=,PQ=AP·sin 30°=1,在Rt△A'PQ中,A'P=====+, 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为+米. (3)正方形ABB'A'的斜二测画法有以下两种: 在图②中,∠A'AB=45°,在△A'AB中由余弦定理可得A'B== =; 在图③中,∠A'AB=135°,在△A'AB中由余弦定理可得A'B== =. 综上所述,直观图中A'B= 米或 米. 14.解:(1)设圆锥的母线长、底面半径分别为l(l>0),r(r>0). 由圆锥的轴截面为等腰直角三角形,得l2+l2=(2r)2,解得l=r. 因为cos∠APB=,所以sin∠APB===, 又因为△PAB的面积 ... ...